Evaluation de l’efficacité de blindage de structures avec plaques minces

La multiplication des équipements électroniques engendre des problèmes de cohabitation entre les systèmes. La compatibilité électromagnétique (CEM) est la discipline qui se préoccupe de la bonne cohabitation entres les systèmes. Afin de maîtriser les contraintes de CEM, il est nécessaire de pouvoir limiter les perturbations émises ou reçues par les équipements électroniques. C’est pourquoi dans de nombreuses situations les systèmes sont logés à l’intérieur de boîtiers afin de les protéger. La conception de ces boîtiers peut bénéficier d’outils de simulations numériques tridimensionnelles. Ces outils doivent être capables d’évaluer les champs électriques et magnétiques à l’intérieur et à l’extérieur de ces structures. De nombreux travaux ont été effectués sur ce thème dans le domaine fréquentiel [1, 2]. Les modèles mis en place nécessitent une simulation par fréquence étudiée. Cette opération est répétée pour décrire une bande de fréquences. De plus ces modèles ne tiennent pas compte du régime transitoire qui a un impact significatif sur l’émission et l’immunité de ces systèmes. Les simulations dans le domaine temporel permettent d’étudier une large bande de fréquences en un seul calcul en utilisant une excitation adéquate. En plus, elles permettent de décrire le régime transitoire et d’obtenir le régime permanent.

La discrétisation des équations de Maxwell dans le domaine temporel tient une place prépondérante dans le milieu académique ainsi que le milieu industriel. Plusieurs méthodes ont été développées dans le passé pour la discrétisation spatiale. La méthode des différences finies est la plus ancienne. Elle a été introduite par Yee en 1966 [3]. Elle offre l’avantage d’être facile à mettre en œuvre. Quand la taille des cellules n’est pas uniforme, cette méthode souffre d’une erreur de dispersion importante. Elle est sujette à l’apparition d’ondes parasites quand les surfaces sont approchées par des cellules en marche d’escalier [4, 5].

La méthode des éléments finis est très utilisée en électromagnétisme avec les éléments finis d’arêtes et de facettes [6, 7]. Elle offre l’avantage d’approcher des géométries plus complexes, grâce aux cellules triangulaires en 2D et tétraédriques en 3D. Elle engendre des matrices creuses et nécessite une résolution de systèmes linéaires, ce qui peut s’avérer coûteux surtout lorsque l’opération se répète à chaque pas de temps. Des éléments d’ordre élevé peuvent être utilisés afin de réduire l’erreur de dispersion et ainsi avoir une précision meilleure. Malheureusement ils génèrent des matrices pleines qui rendent la résolution des systèmes linéaires plus complexe.

La méthode des volumes finis vise à résoudre le problème en moyenne sur le maillage. Pour cela, on considère une seule inconnue par cellule. Des termes de “flux numériques” sont introduits pour lier les cellules entre elles. Cette méthode est bien adaptée à l’utilisation de maillages non structurés et le traitement de géométries complexes [8, 9]. Malheureusement elle souffre comme la méthode des différences finies d’un faible ordre de convergence et d’une forte erreur de dissipation.

La méthode de Galerkin discontinue a été introduite par Reed et Hill dans les années 1973 [10]. C’est une approche qui combine les outils des méthodes éléments finis nodaux et volumes finis. Elle est bien adaptée à l’utilisation des maillages non structurés. Elle s’applique généralement aux formulations conservatives des équations aux dérivées partielles. Elle consiste à résoudre le problème variationnel sur chaque maille [11]. Pour cela, une approche de type éléments finis est utilisée sur chaque maille, et des termes de “flux numériques” comme en volumes finis sont introduits pour lier les mailles entre elles. Les matrices générées sont diagonales par blocs où la taille du bloc dépend du nombre de degrés de liberté sur la maille. Cet aspect rend la méthode facilement parallélisable. Grâce aux techniques de paramétrisation et au fait que chaque élément est traité indépendamment, l’utilisation des éléments d’ordre élevé est facile à mettre en œuvre.

De nombreux travaux ont été développés pour la discrétisation des équations de Maxwell avec cette méthode. Une méthode conservative et dispersive a été proposée avec des éléments tétraédriques en utilisant des termes de flux numériques centrés dans [12]. Une méthode non conservative et dissipative a été présentée en utilisant des termes de flux numériques décentrés avec des éléments tétraédriques dans [13]. Afin d’augmenter l’ordre spatial des éléments utilisés, on a recours à un changement de variables qui transforme l’espace physique en un espace paramétrique dans lequel les fonctions de bases sont des polynômes homogènes [13]. Ce type de transformation est exploité avec des éléments héxaédriques dans [14]. L’utilisation des espaces paramétriques, dont les nœuds sont associés aux points de Gauss, permet d’éviter le stockage des matrices (masse et rigidité). Les opérations nécessaires à la résolution des systèmes sont directement évaluées aux points de Gauss grâce à des formules d’intégration quadratique [15]. Malheureusement la précision des solutions ne dépend pas seulement de l’ordre de convergence de ces méthodes mais aussi de la discrétisation spatiale et temporelle. Dans le cas de l’utilisation de schémas explicites, Le pas de temps est étroitement lié au pas spatial via la condition CFL (Courant, Friedrichs et Lewy). Ce pas spatial dépend de la géométrie étudiée, des propriétés du milieu ainsi que la longueur d’onde .

Les ondes électromagnétiques sont constituées, d’un champ électrique qui apparaît avec une différence de potentiel, et d’un champ magnétique qui apparaît avec la circulation d’un courant. Elles peuvent avoir une origine naturelle (champ magnétique terrestre, foudre, …) ou artificielle (réseau électrique, réseau de télécommunication, appareils médicaux, …). Les équations de Maxwell décrivent le couplage entre le champ électrique et le champ magnétique. Elles ont été introduites par Maxwell en 1873 pour décrire, d’une façon mathématique, les observations expérimentales [31]. Pour une compréhension détaillée du phénomène on peut citer [32], et pour une explication plus mathématique on peut citer [33].

La discrétisation des équations de Maxwell, dans le domaine fréquentiel comme dans le domaine temporel, tient une place prépondérante dans le milieu académique et dans le milieu industriel. Plusieurs méthodes ont été développées pour la discrétisation spatiale. Une première famille s’appuie sur la méthode des différences finies qui offre l’avantage d’être facile à mettre en œuvre, mais qui souffre d’une erreur de dispersion importante quand le maillage n’est pas uniforme. On note aussi l’apparition d’ondes parasites quand les surfaces sont approchées par un maillage en marche d’escalier [3, 4]. La deuxième famille s’appuie sur la méthode des éléments finis. Elle offre l’avantage d’approximer des géométries plus complexes grâce aux maillages triangulaires en 2D et tétraédriques en 3D [6, 7]. Elle engendre des matrices creuses qui nécessitent une résolution de systèmes linéaires, qui s’avèrent coûteuse surtout dans le domaine temporel où l’opération se répète à chaque pas de temps. Elle présente aussi l’avantage d’avoir un ordre de convergence élevé avec les éléments d’ordre élevé, ce qui permet de réduire l’erreur de dispersion, et ainsi avoir une meilleure précision. Malheureusement la difficulté de la mise en œuvre est accrue avec ces éléments d’ordre élevé. La troisième famille s’appuie sur la méthode des volumes finis. Elle consiste à prendre une seule inconnue par maille et à introduire des termes de flux numériques pour lier les mailles entre elles. Elle permet de considérer des géométries complexes et des maillages non structurés [8, 9]. Elle présente l’avantage d’être facile à mettre en œuvre, mais elle souffre comme la méthode des différences finies d’un faible ordre de convergence.