Existence, unicité, approximations de solutions d’équations cinétiques et hyperboliques

Les travaux de cette thèse s’inscrivent dans le contexte des systèmes de particules. Nous considérons différents systèmes physiques, dont la dynamique est modélisée par des équations aux dérivées partielles décrivant l’évolution temporelle de certaines quantités macroscopiques ou microscopiques, selon l’échelle de description envisagée. Cela correspond à une approche continue des systèmes étudiés, qui seront décrits par une distribution statistique de particules, et non pas particule par particule. Les équations étudiées sont des équations cinétiques (mettant en jeu des variables microscopiques, comme la vitesse des particules, ou leur masse) mais aussi des systèmes hyperboliques de lois de conservation (qui portent sur des quantités moyennées, comme la densité d’un fluide ou son champ de vitesse), qui apparaissent par exemple dans l’étude de la dynamique des gaz sans pression.

Le manuscrit est constitué de trois parties, correspondant chacune à un résultat obtenu pendant la thèse.

La théorie cinétique, qui est le contexte général d’une grande partie des travaux de cette thèse, est présentée dans cette section, et nous nous attardons volontairement sur l’équation de Boltzmann. Ce choix s’explique bien entendu par des raisons historiques, des raisons de modélisation, mais aussi parce que les notions de solutions que nous utiliserons sur les modèles de coagulation-fragmentation ont d’abord été développées pour l’équation de Boltzmann, nous les expliquerons donc dans ce contexte.

Modèles de coagulation-fragmentation 

On considère maintenant un autre type d’interaction, entre objets de tailles y ∈ Y variables, qu’on désigne classiquement par le terme « agglomérats ». Typiquement, il s’agit de particules solides ou liquides en suspension dans un gaz (par exemple, des gouttelettes dans un spray), mais aussi des suspensions colloïdales, des polymères, ou, à plus grande échelle, des planètes, des étoiles, des astéroïdes. On s’intéresse à la situation où, sous l’effet de certaines forces, ces agglomérats évoluent selon deux mécanismes opposés, qui modifient leur taille : le processus de coagulation, où des agglomérats vont se regrouper pour former un agglomérat de taille plus grande, et le processus de fragmentation, où, grâce à une dynamique interne, un agglomérat se scinde en plusieurs autres, de taille plus petite. La variable « taille », qui représente l’état d’une particule au cours du temps, peut correspondre (selon le type d’agglomérats) à la masse, au rayon, ou au volume d’une particule (dans ce cas on a une variable continue y ∈]0, +∞[), ou alors au nombre de monomères d’un polymère (la variable y est alors discrète, y ∈ N). On peut aussi adopter une description plus précise où la variable y intègre plusieurs caractéristiques (par exemple la quantité de mouvement, voire l’énergie interne de la particule, en plus de sa masse), et dans ce cas, on a y ∈ R D, avec D ∈ N.

On va se restreindre au cas des interactions binaires (comme pour l’équation de Boltzmann), qu’on schématisera de la façon suivante : {y} + {y∗} → {y′}

pour la coagulation de deux agglomérats de taille y et y∗ en un autre de taille y′, et réciproquement, {y′} → {y} + {y∗}

pour la fragmentation d’un agglomérat de taille y′ en deux autres, de taille y et y∗ . Si la variable y désigne la masse des particules, on aura évidemment la relation y′=y+y∗.

Au niveau de la modélisation, on peut décrire un système d’agglomérats de manière continue, suivant la théorie cinétique, au moyen d’une densité de particules f = f(t, x, y) ≥ 0, où la variable taille y va jouer le rôle de variable microscopique. Nous pouvons alors dériver différents modèles mathématiques de coagulation fragmentation, sous la forme d’équations integrodifférentielles, avec un second membre Q(f) décrivant les interactions entre particules. Dans les sous-sections qui suivent, nous allons décrire brièvement ces différents modèles, du plus simple au plus complexe, ainsi que les principaux résultats connus pour chacun d’eux, et nous présenterons ensuite un modèle purement cinétique (où la variable y intègre la masse, la vitesse et l’énergie des particules), qui fait l’objet de la première partie de cette thèse.