Une approche bayésienne de l’inversion

Dans notre vie quotidienne, l’interaction entre les ondes en général et le monde physique fournit une grande quantité d’informations sur les objets qui nous entourent. Des exemples illustrant ces propos sont : la réflexion de la lumière qui nous permet de voir notre entourage, la propagation du son dans l’espace qui nous permet de localiser une source sonore, la radiographie X et l’échographie ultrasonore qui nous permettent d’inspecter l’intérieur du corps humain. L’étude de la physique de cette interaction a suscité beaucoup d’intérêt et ceci afin de mieux comprendre les informations contenues dans ces ondes. Un mode particulier de cette interaction, appelé mode de diffraction, a lieu quand la longueur d’onde devient proche des dimensions de l’objet ou de ses inhomogénéités. Ceci donne lieu à une résonance de l’onde dans l’objet puis au rayonnement d’une onde diffractée.

Dans un problème d’imagerie de diffraction par ondes électromagnétiques, on cherche à reconstruire une image d’un objet inconnu éclairé par une onde connue à partir des mesures de champ diffracté autour de lui. Les mesures de ce champ sont réalisées pour plusieurs positions de source d’éclairage et/ou de fréquences d’excitation. L’image recherchée représente une cartographie des paramètres électromagnétiques de l’objet en question, plus précisément, sa permittivité diélectrique et sa conductivité (εr et σ), l’objet étant supposé ici non magnétique.

Du point de vue pratique, ce problème d’imagerie se pose pour de nombreuses applications. Par exemple en imagerie micro-onde, les tissus malins et sains ont des permittivités bien différentes [CMST84, JZLJ94], ce qui laisse présager l’obtention d’images présentant un bon contraste [LH01]. Cette imagerie est aussi utilisée dans l’exploration géophysique [Ric09], la détection d’objets enfouis [CLH06] et dans des applications de contrôle non destructif (CND) [CMPD04]. Récemment, sont apparues des applications de tomographie optique par diffraction destinées à imager des objets de dimensions nanométriques, comme des cellules biologiques ou des objets artificiels issus des nanotechnologies [CKC+07, HSG07].

La recherche d’une solution pour de tels problèmes commence par l’utilisation de notre connaissance physique pour écrire un modèle mathématique reliant les données (le champ diffracté) y et la fonction contraste de l’objet inconnu x, sous la forme y = S(x) où S(.) est le modèle direct (la fonction de transfert). La seconde étape est l’inversion où nous cherchons à estimer l’inconnue x à partir des données. En général, il n’y a pas de solution unique et stable. Ce problème est alors un problème inverse mal posé au sens de Hadamard et nécessite une régularisation. Cette régularisation a pour but d’obtenir une solution unique, stable et satisfaisant des contraintes qui correspondent à notre connaissance a priori sur l’objet. De plus, le modèle direct S(.) est non linéaire ce qui rend la tâche de la recherche d’une solution plus compliquée. S’ajoutent à ces difficultés la grande dimension et la complexité des calculs liés au modèle direct.

Pour les petites longueurs d’onde λ, la propagation des ondes est modélisée grâce à l’optique géométrique [Sch04]. On suppose que l’onde se propage selon des lignes droites (rayons) et l’interaction avec des obstacles change sa direction et/ou son intensité. Selon la nature de l’obstacle, différents phénomènes sont constatés . Les principaux sont les suivants :

1. Réflexion/ réfraction : ces deux phénomènes se produisent quand le rayon rencontre une interface régulière entre deux milieux. Ce sont les bases de la modélisation dans les applications liées à l’imagerie optique classique.

2. Diffusion : ce phénomène est observé lorsque le rayon rencontre une interface irrégulière ou traverse un milieu quasi-transparent avec de nombreux petits diffuseurs petits obstacles sur lesquels le rayon change de direction plusieurs fois. Le modèle direct est souvent décrit par les équations de transport. Ce principe de propagation est utilisé dans l’imagerie de tissus mous [MSO+04] et l’imagerie fonctionnelle cérébrale [Arr99] .

3. Absorption : dans ce cas le rayon perd en intensité lorsqu’il traverse un milieu dense. On suppose que le rayon garde sa direction et subit seulement une perte d’énergie. Ce phénomène est la base de la modélisation directe dans les applications de tomographie classique comme la tomographie X [BBM+00] et la tomographie à émission de positons [OF97] .

Lorsque la dimension de l’obstacle devient proche de la longueur d’onde, l’interaction entre l’onde incidente et l’objet entre dans le domaine de résonance. Pour modéliser ce phénomène, plusieurs choix sont possibles :
– on repart des équations de Maxwell où on travaille directement sur les équations aux dérivées partielles. On distingue entre deux domaines de travail :

1. le domaine fréquentiel : on utilise la méthode des élément finis (FEM) qui consiste à résoudre ce système d’équations en décomposant la solution sur une base de fonctions élémentaires [Jin02].

2. le domaine temporel : la méthode des différences finies dans le domaine temporel (FDTD) est utilisée afin d’obtenir la solution en approchant les termes dérivés par des différences temporelles finies [Yee66, TH05].

Cette approche est flexible pour analyser les milieux inhomogènes avec des structures complexes. Néanmoins, elle nécessite la discrétisation de l’espace sur un grand domaine et l’imposition de conditions aux limites ad hoc sur les bords de celui-ci. Ceci rend les algorithmes associés très gourmands au niveau du temps et calcul.
– Une représentation intégrale des champs obtenue à partir de l’équation des ondes de Helmholtz [Gib08, Har93].