Méthodes d’homogénéisation pour la modélisation électromagnétique de matériaux composites

Depuis l’apparition du torchis au Néolithique, l’homme n’a cessé de développer de nouveaux matériaux composites. Combinant les propriétés de leurs différents constituants, les matériaux composites offrent de nombreux avantages. D’abord introduits dans le génie civil, ils sont aujourd’hui présents dans de très nombreux domaines comme les sports mécaniques, les transports ou l’aérospatiale. Leur principal intérêt réside essentiellement dans le fait qu’ils offrent à la fois de bonnes propriétés et une faible masse. Depuis plusieurs années, ils sont de plus en plus utilisés par l’industrie aéronautique pour alléger les structures mécaniques. C’est le cas de la structure de l’A350, qui se concrétise par une proportion en masse de 52 % fabriquée en matériaux composites. Principalement utilisés dans la conception du fuselage, des ailes et de la queue, les différentes pièces composites sont généralement constituées de matériaux à base de fibres de carbone noyées dans une matrice epoxy. S’ils offrent cet immense avantage d’être légers tout en étant résistants, il n’en demeure pas moins que leur modélisation est plus compliquée que celle des matériaux homogènes. Mais, si l’utilisation de matériaux composites, pour des applications mécaniques, est rendue possible par l’expertise acquise dans ce domaine depuis plusieurs décennies, l’emploi des composites pour des applications de blindage électromagnétique est en revanche freinée par manque de modèles .

Avant d’envisager l’utilisation de matériaux composites pour fabriquer des boîtiers de blindage d’équipements électroniques, il est nécessaire de développer des modèles appropriés. Pour parvenir à modéliser le comportement électromagnétique de matériaux composites, la méthode retenue dans ce travail de thèse est celle de l’homogénéisation analytique. Il existe de nombreuses méthodes d’homogénéisation numérique, mais le modèle recherché doit être rapide, facilement applicable et basé sur des définitions physiques pour faciliter l’étape de pré-dimensionnement. L’homogénéisation analytique est adaptée à l’optimisation de matériaux composites et permet d’obtenir rapidement des estimations des propriétés effectives. Le milieu homogène équivalent ainsi obtenu, peut être introduit dans des modèles numériques, afin d’étudier le comportement de structures complètes en évitant de modéliser la microstructure des matériaux utilisés. En effet, le maillage des hétérogénéités rend impossible la modélisation de structures complexes. Les propriétés effectives fournies par certains modèles sont des bornes (supérieure et inférieure), encadrant les propriétés effectives macroscopiques d’un matériau composite. Plus les informations définissant le composite sont riches (propriétés des constituants, répartition, . . . ), plus les bornes sont restreintes. Il convient ainsi d’appliquer le modèle adapté au composite à étudier car chaque estimation est plus ou moins pertinente en fonction de la microstructure étudiée. Modéliser un matériau hétérogène par homogénéisation, consiste donc à estimer ou encadrer ses propriétés effectives.

Cependant, les modèles analytiques classiques ont été développés pour des sollicitations statiques. Même si certains peuvent être utilisés pour des sollicitations quasi-statiques, ils ne sont pas applicables pour modéliser des phénomènes dynamiques. C’est pourquoi il est nécessaire de développer des méthodes d’homogénéisation dynamique qui permettent d’anticiper le comportement électromagnétique dynamique des matériaux composites. Pour y parvenir, on choisit d’adapter une méthode d’homogénéisation basée sur des problèmes d’inclusion. Dans cette méthode, le comportement de chaque phase du composite, représentée par une inclusion plongée dans un milieu de référence, est étudié séparément. C’est le milieu de référence qui caractérise les interactions entre les différentes phases du composite. En adaptant le choix du milieu de référence, cette méthode permet de tenir compte de nombreux phénomènes (non-linéarité, couplage, . . . ). L’objectif de cette thèse est de caractériser les phénomènes dynamiques qui interviennent au sein des matériaux composites illuminés par des ondes électromagnétiques. En intégrant ces phénomènes dans le choix du milieu de référence, cette démarche permet de mettre au point des méthodes d’homogénéisation dynamique.

Les champs électromagnétiques
Un champ électromagnétique (EM) est la combinaison d’un champ électrique et d’un champ magnétique. Un champ électrique se forme sous l’effet d’une différence de potentiel électrique alors qu’un champ magnétique apparaît lorsqu’il y a circulation de courants. Les champs EM peuvent avoir une origine naturelle comme le champ magnétique terrestre, les phénomènes météorologiques ou encore la lumière. Certains sont artificiels et ont des origines diverses comme les appareils de diagnostic médical, les différents réseaux électriques ou encore les systèmes de télécommunications.

Les démarches analytiques permettent de modéliser le comportement de géométries simples illuminées par des ondes EM. Mais le comportement d’un boîtier de blindage est nettement plus compliqué et le recours aux méthodes numériques est indispensable. Cependant, les outils numériques de calcul du blindage électromagnétique nécessitent des ressources informatiques conséquentes en raison des géométries complexes des boîtiers. La modélisation complète d’un boîtier de blindage électromagnétique composite est de ce fait impossible. En effet, le maillage de toutes les hétérogénéités de la structure impliquerait un nombre d’inconnues trop élevé. Une des possibilités pour parvenir à modéliser des structures composites est d’avoir recours à l’homogénéisation. Cette méthode permet d’obtenir des estimations des propriétés effectives du matériau composite. Il sera ensuite possible de modéliser numériquement la structure complète constituée du milieu homogène équivalent obtenu par homogénéisation.

L’homogénéisation consiste à remplacer un milieu hétérogène par un milieu homogène ayant le même comportement macroscopique. En électromagnétisme, l’homogénéisation est généralement réalisée avec des méthodes numériques. Ces dernières suscitent un intérêt plus conséquent de la part de la communauté scientifique que les méthodes analytiques, mais elles requièrent des ressources informatiques et des temps de calculs plus élevés. Elles sont principalement basées sur le calcul des champs d’une cellule unitaire par la méthode des éléments finis (Waki et al. 2006 ; Cyr et al. 2009 ; Bottauscio et al. 2009 ; Niyonzima et al. 2012 ; Bordianu et al. 2012 ; Wasselynck et al. 2013). Les méthodes numériques donnent accès à la totalité des champs locaux, permettant ainsi de définir précisément la réponse du matériau en chaque point. Cet avantage peut se transformer en inconvénient si la microstructure présente une forte variabilité, obligeant alors à réaliser un grand nombre de calculs pour atteindre une représentativité statistique suffisante. Les méthodes analytiques quant à elles fournissent des informations locales moins précises mais sont rapides et simples à mettre en œuvre.