Comportement global du spectre de grandes matrices aléatoires

La théorie des matrices aléatoires présente un ensemble d’outils mathématiques efficaces pour l’étude de performances des systèmes de communications numériques. L’objectif de cette thèse est de développer des résultats analytiques basés sur la théorie des matrices aléatoires pour étudier les fluctuations de quelques indicateurs de performance pour les systèmes de communications sans fil, en particulier, les sysèmes multi-antennes MIMO (pour Multiple Input Multiple Output) et les systèmes de codage des transmissions CDMA (pour Code Division Multiple Access). Plus précisemment, nous étudions les fluctuations du rapport signal sur bruit (SINR, pour Signal Interference plus Noise Ratio), indice de performance mesuré à la sortie d’un recepteur linéaire minimisant l’erreur quadratique des symboles estimés (LMMSE pour Linear Minimum Mean Squared Error) pour les transmissions par la technique CDMA. Le SINR pouvant s’écrire comme une valeur prise par une forme quadratique associée à une matrice aléatoire sur un vecteur aléatoire, son étude analytique fait donc appel à la théorie des matrices aléatoires.

La compréhension de la loi limite des fluctuations du SINR permet de comprendre le comportement d’autres indices de performance comme le taux d’erreur binaire et la probabilité de dépassement. Nous nous intéressons à l’étude de ces deux indices pour un modèle gaussien dont les corrélations mutuelles entre les émetteurs et les récepteurs sont prises en comptes.

Comportement global du spectre de grandes matrices aléatoires 

La théorie des grandes matrices aléatoires s’intéresse, entre autres, aux propriétés macroscopiques du spectre des matrices aléatoires, telles que le comportement asymptotique global du spectre, le comportement asymptotique des valeurs propres extrêmes, la loi jointe des valeurs propres, etc. Cette théorie a connu un grand succès dans différentes branches de la physique théorique et des mathématiques. Une des raisons du succès de la théorie des matrices aléatoires est sa propriété d’universalité: le comportement asymptotique du spectre est indépendant de la distribution initiale des entrées de la matrice aléatoire en question. Ce constat a été réalisé par Wigner en 1958 lorsqu’il a abordé l’étude spectrale des grandes matrices aléatoires pour résoudre des problèmes de la mécanique quantique. Wigner étudia le modèle dit du GUE (Gaussian Unitary Ensemble), et son théorème affirme que la limite du spectre des matrices GUE, quand la taille de la matrice, tends vers l’infini, est une loi déterministe (loi du demi-cercle). Ce résultat a été étendu par plusieurs mathématiciens pour d’autres modèles de matrices aléatoires. Citons entre autres modèles, les matrices de Wigner à entrées indépendantes non identiquement distribuées, les matrices de Wishart, les matrices de Gram (cf [53]). Le régime au bord du spectre corrobore ce constat d’universalité. En fait, Tracy et Widom ( [77], 2002) ainsi que Soshnikov ( [76], 1999) ont démontré, entre autres, que la convergence en distribution de la plus grande valeur propre d’une matrice de Wigner converge, en un certain sens, vers la loi de Tracy-Widom. Ces propriétés ont fait, entre autres, de la théorie des matrices aléatoires, aux yeux des mathématiciens et des physiciens, un outil prometteur pour la résolution des problèmes théoriques aussi bien que pratiques.

Systèmes à entrées multiples et à sorties multiples 

Ces deux dernières décennies ont été témoins d’une renaissance dans la théorie de l’information de Shannon notamment pour les systèmes de communications sans fil. Dans une course pour l’amélioration des technologies de transmission de l’information, Foschini, des Bell Labs utilisa une technique permettant d’accroître les debits de transmission par l’emploi de plusieurs antennes à la fois à l’émission et à la réception .

Cette technique de communication à entrées multiples et à sorties multiples appelée MIMO pour Multiple-Input Multiple-Output, consiste à transmettre plusieurs répliques du même signal à plusieurs récepteurs. Cela permet un gain matriciel dans le sens où chaque récepteur reçoit plusieurs copies du même signal envoyé par des transmetteurs différents et donc avec des atténuations différentes. Il est donc possible qu’au moins un des signaux reçus ne soit pas atténué, ce qui rend possible une transmission de bonne qualité.

Régime d’évanouissement rapide: Fast fading environment.
Ce cas de figure se présente quand la réponse du canal change rapidement durant la période de transmission. Cet évanouissement est dû, par exemple, aux réflexions du signal à des objets proches. Dans ce cas, chaque transmission correspond à une nouvelle réalisation du canal.

Régime d’évanouissement lent: Slow fading environment.
L’évanouissement lent d’un canal est dû aux phénomènes de masquages et d’ombrage qui peuvent se présenter entre l’émetteur et le récepteur. Dans ce cas, le canal peut être considéré comme constant pendant la période d’utilisation. L’évaluation des performances des canaux MIMO se fait à travers l’étude de ses indices de performances tels que la capacité du canal de transmission, la probabilité de dépassement d’un seuil donné pour l’information mutuelle, le taux d’erreur en sortie d’un récepteur, le rapport signal sur bruit.. L’étude mathématique de ces indicateurs tire profil du fait que la plupart de ces indicateurs s’expriment comme des fonctionnelles spectrales de la matrice-canal.