Modélisation sous l’hypothèse d’un roulement pur sans glissement

Roues omnidirectionnelles

Roue omnidirectionnelle On appelle roue omnidirectionnelle , une roue pour laquelle l’axe (QS) est oertical, – l’orientation de la roue par rapport an châssis est Jixe. à celle-ci d’évoluer librement dans plan de la T’Ove. L’exemple le plus classique de roue omnidirectionnelle est la roue à galets (dite encore roue suédoise) représentée sur la Figure 2.6 sur la bande de roulement d’une telle roue sont placés de petits cylindres, appelés aussi galets, pouvant tourner librement autour de leur axe. L’orientation de ces axes par rapport au plan de la notée 1 et la même pour tous les cylindres, définit une direction d’évolution libre pour rouc : une roue à galets peut évoluer bien sûr selon la direction donnée par le plan de la roue, simplement en faisant avancer ou reculer la roue (i.e. en faisant croître ou décroître <pl, mais également selon la direction perpendiculaire aux axes des cylindres, du fait de la rotation libre du cylindre en contact avec le sol. Les roues à galets, et plus généralement les roues omnidirectionnelles, ont été développées afin de proposer une solution au problème suivant construire des robots mobiles qui soient capables de suivre n’importe quelle trajectoire ç(t), i.e. des robots pour lesquels il soit possible de faire suivre au point P, fixe sur le châssis, n’importe quelle trajectoire (x(t), y(t)), et simultanément de faire se ré-orienter le châssis selon une loi quelconque B(t) (il sera quand même supposé que (:(t) = (.r(t),y(t),O(l)f est au moins deux fois continûment différentiable).

De tels robots, offrant cette complète liberté pour leur déplacement, présenteraient une intérêt pratique évident. Les robots les plus courants ne proposent pas une telle propriété : une voiture par exemple, ne peut pas entre 2 autres voitures le long d’un trottoir de la façon qui serait la plus simple, en se déplaçant perpendiculairement au trottoir. Elle doit effectuer un mouvement plus complexe, appelé créneau. Une première solution pour obtenir une complète liberté dans le déplacement consiste à commander, à l’aide d’un moteur, l’orientation de toutes les roues. Cela est techniquement possible, mais pose 2 difficultés: d’une part, il y a redondance des actionneurs, cc qui n’est pas facile à gérer au moment du calcul de la commande, d’autre part, certaines configurations des ralles conduisent à.des singularités. Dans ce mémoire, nous nous intéresserons beaucoup aux robots équipés uniquement de roues directrices, et plusieurs solutions pour le calcul de lois de commande seront proposés au Chapitre 4. La solution alternative consiste à équiper le châssis du robot avec des roues omnidi reetionnelles. Dans ce cas, les 2 difficultés précédentes disparaissent ainsi, le robot UCL ([CB89]) qui est équipé de 3 roues à galets placées aux sommets d’un triangle équilatéral, pp-ut décrire n’importe quelle trajectoire x(t),y(t),O(t), tout en ne comportant que 3 tionneurs (ceux entraînant les 3 roues en rotation). Il n’y a aucune redondance dans la commande, et on montre également qu’il n’y a aucune singularité. Donc, comparativement il la première solution proposée, les robots à roues omnidirectionnelles sont particulièrement simples à commander. Ce point sera discuté très brièvement à la page (4.2). Une expérience destinée à mettre en évidence la complète liberté de déplacement des robots à roues omnidirectionnelles a consisté à équiper le châssis d’un tel robot avec un crayon, et à lui faire écrire une phrase sur le sol sans jamais relever le crayon. La phrase obtenue est parfaitement lisible [WA95, Figure 12].

Plusieurs prototypes de robots équipés de roues à galets ont été réalisés. Parmi ccuxci, on peut citer le robot UCL [CB89], le robot URANUS [MN87] ou dernièrement le robot ACTRESS [ASB+95]. D’autres références peuvent être trouvées dans ces 3 articles. Sur le robot UCL, l’axe des galets a été choisi parallèle au plan de la roue (i.e. ,= 0 d’après les notations de la Figure 2.6). L’inconvénient de ce choix est qu’il conduit à une discontinuité du contact lors du passage d’un galet à un autre et donc à des chocs successifs. Cette discontinuité peut être réduite, soit en inclinant l’axe des galets (sur le robot URANUS, , a été choisi égal à 45°), soit en gardant, = 0 mais en plaçant deux rangées de galets côte-à-côte sur la bande de roulement de la roue. Ces 2 rangées de galets sont décalées, de façon qu’avant qu’un galet ne perde contact avec le sol, un galet de l’autre rangée ait déjà pris contact. C’est le choix a été fait pour le robot ACTRESS. Des roues omnidirectionnelles autres que les roues également été proposées et réalisées. Ce sont en général des sphères 011 des combinaisons de sphères. Deux exemples peuvent être trouvés dans [KP92] et [WA95]. Pour décrire de façon tout à fait rigoureuse une roue à galets (cf. Définition 2.1), il faudrait faire apparaître parmi les coordonnées généralisées autant de variables qu’il y a de galets, afin de pouvoir repérer pour chacun leur position. Nous ne le ferons pas, car les galets pouvant tourner librement autour de leur axe, leur position est sans influence sur la dynamique des autres variables du robot.

En fait, seule J’orientation des par rapport au plan de la roue a une conséquence sur la dynamique de f, ou de ‘{J. orientation sera repérée par la constante  » définie de la manière suivante pour qu’elle garde une signification quand la roue omnidirectionnelle n’est pas une roue à galets , angle entre le plan de la roue omnidirectionnelle et la perpendiculaire à la direction d’évolution libre. De façon évidente, une roue omnidirectionnelle n’a d’intérêt que si le plan de la roue et la direction d’évolution libre sont 2 directions distinctes en effet, si ces 2 directions étaient confondues, la ralle omnidirectionnelle ne possèderait pas de propriétés supplcrnentaircs par rapport à une roue fixe. Par conséquent, la constante Dans le cas d’une roue à plement l’angle entre (2.2) la définition donnée ci-dessus, tout simw ,~,U< » COL’ a.AC U.C~ galets, voir Figure 2.6. Le choix des constantes et des coordonnées généralisées permettant de décrire une rolle ornnidireetion nelle est maintenant trivial l’axe étant vertical, le centre S est fixe par au châssis ct peut donc, comme pour être repéré par les 3 constantes L’orientation dc la roue est complètement par la donnée de (3 qui dans ce cas, est une constante, puisque l’oricntation de la roue est fixe. Le rayon r de la roue est également une constante. Ensuite, comme il a été choisi de ne pas repérer la position des galets ou de tout autre système omnidirectionnel, nous avons juste besoin de connaître la direction d’évolution libre de la roue. Cette information est donnée par la const.ante v. Il n’est. donc besoin en définitive que d’une seule variable pour repérer la position de chaque point d’une roue omnidirectionnelle ‘P.

Mise en évidence de cinq classes de robots mobiles

Le Théorème 2.3 donne l’expression explicite du modèle cinématique réduit de n’importe quel robot mobile. Nous montrons maintenant que ces modèles forment 5 classes déquivalence, caractérisées chacune par une valeur du couple (5m , 50)’ Plus précisément, nous montrons, Théorème 2.5, que le couple (5m , 50) associé à un robot mobile quelconque ne peut prendre que 5 valeurs, puis, Théorème 2.6, que si 2 robots mobiles notés RA et RB ont même couple (Dm, 50)’ alors il est toujours possible de choisir sur le châssis du robot RB, un repère [P,ï,jJB tel que le modèle cinématique réduit de RB soit identique à celui du robot RA Ces résultats sont particulièrement intéressants dans l’optique du calcul d’une loi de commande: ils montrent que sous les Hypothèses 2.1 et 2.2, la commande de l’ensemble des robots mobiles à roues se résume en fait à 5 cas de figure différents. Ces résultats ont été prouvés dans [TAM92b] et [CBA93]. Dans [TAM92b], seul le cas des robots équipés uniquement de 3 roues était étudié. Le degré de mobilité était appelé degré de liberté sur le corps et le degré d’orientabilité était remplacé par le nombre de roues directrices, ce qui est presque équivalent lorsque n = 3 . cela conduit juste au dédoublement, inutile, d’une des classes.

Les degrés de mobilité et d’orientabilité ont été introduits dans [CBA93], et ont permis de présenter une classification complète de tous les robots mobiles, quel que soit le nombre de roues dont ils sont équipés. C’est cette classification que nous donnons dans cette section. La présentation est basée sur les 2 références mentionnées ci-dessus. Centre instantané de rotation Les Théorèmes 2.5 et 2.6 peuvent être prouvés en raisonnant uniquement sur la matrice des contraintes A(q), dont l’expression est donnée à la Proposition 2.12. Cependant, afin d’éviter des calculs de déterminant, de rang, particulièrement fastidieux, nous nous appuierons également sur une notion très classique en Mécanique, celle du centre instantané de rotation. Cette notion, en permettant des raisonnements purement géométriques, simplifie significativement ces 2 preuves. Nous l’utiliserons encore, d’une manière plus directe cette fois, à la section 2.4 pour proposer un second modèle pour les robots équipés de plusieurs roues directrices. L’existence d’un centre instantané de rotation est assuré, pour tout corps rigide, par le Principe de Descartes. Nous rappelons tout d’abord l’énoncé général de ce Principe (Théorème 2.4), puis nous montrons comment il peut être particularisé dans le cas des robots mobiles à roues (Proposition 2.13).

Modèle dynamique Le modèle cinématique d’un robot mobile, présenté à la section 2.3.2, précise les possibilités d’évolution de toutes les coordonnées de ce système (Théorème 2.2). Il fait apparaître, suivant la classe à le robot, 2 ou 3 de liberté, correspondant à la vitesse linéaire (degrés de liberté Tlm) et la vitesse d’orientation des roues directrices si le robot. en comporte (degrés de liberté rM (Propositions 2.17, D.3, D.5, D.9 et D.12, voir aussi Tableau 2.1). Si l’inertie du robot est faible et si ses moteurs ont un temps de réponse très court, ces différentes vitesses du robot peuvent être considérées comme étant les variables spécifiées par l’utilisateur pour commander le système. Dans ce cas, le modèle cinématique donné par le Théorème 2.2 décrit complètement le comportement du robot mobile. C’est une représentation d’état, avec q comme vecteur d’état el (Tlm,T/o)T comme vecteur de commande. Il faut juste alors préciser les relations entre (T/m,T/o)T et les vitesses de rotation et d’orientation des différentes roues motorisées (a l’aide des 5 propositions mentionnées il la fin du premier paragraphe ct du Théorème 2.1). Cependant, dans la plupart. des applications pratiques, il est beaucoup plus réaliste de considérer comme variables de commande, non pas mais les couples de rotation et d’orientation qui leur sont appliqués.

La modélisation à la section 2.3.2, basée uniquement sur les vitesses des différentes roues, ne permet pas de mettre en évidence l’action de ces couples sur le comportement général du système. Il faut donc se tourner vers des méthodes plus classiques de modélisation des systèmes mécaniques. Dans cette section, nous détaillons la construction du modèle d’un robot mobile quelconque, sur la base des équations d’Euler-Lagrange. Le modèle obtenu, qui fait donc intervenir les couples appliqués sur le robot., est. appelé modèle dynamique. Son expression est donnée au Théorème 2.8. Nous montrons pour finir, Théorème 2.9, que lorsque les paramètres inertiels du robot sont connus 2.7), ce modèle dynamique peut, grâce à un premier retour d’état, être comme le modèle cinématique complété par une série d’intégrat.eurs. Ce résultat est particulièrement important dans l’optique de la commande des robots mobiles, car il existe des techniques permettant, à partir d’une loi de commande calculée pour un donné, de commander ce système étendu par des intégrateurs (voir [PAC91] 4.2.2.c pour un exemple). Le Théorème 2.9 montre donc que, sous l’hypothèse que les paramètres inertiels du robot sont connus, la synthèse des lois de commande peut être conduite simplement. il partir du modèle cinématique. Les résultats décrits dans cette section, out. ét.é présentés initialement dans [ABC91].