Observateurs d’états des systèmes non linéaires

Une bonne maîtrise d’un procédé passe en général par une bonne information sur ce dernier. Les variables directement mesurées ne couvrant pas souvent la totalité des grandeurs mesurables susceptibles de décrire le comportement du procédé (les états), on peut se poser le problème de reconstruction de l’information non mesurée au moyen de celle qui est disponible: c’est le rôle de l’observateur d’états, ou estimateur d’états.

Dans le cas du système hydraulique que nous étudions, les états considérés lors de la modélisation sont accessibles et mesurables. Il nous restera alors à synthétiser un observateur robuste et sensible aux défauts capable de suivre la dynamique du système.

D’ailleurs, cet observateur sera le moyen sur lequel nous allons nous appuyer pour construire des redondances à partir desquelles nous allons générer des signaux capables de détecter des défauts dans le système.

Afin de reconstituer l’état interne du système, un observateur s’appuie souvent sur un modèle déjà existant et qui rend compte de cet état, à savoir une représentation du système sous forme d’équations différentielles décrivant le comportement de ce dernier.

C’est une représentation d’états qui a été introduite par Kalman [20] ; en s’inspirant des résultats de ce dernier, la théorie des observateurs d’états a été initiée en 1964 par Luenberger [21] pour les systèmes linéaires continus une entrée et une sortie (SISO). L’idée comme on l’a dit plus haut est de reconstruire l’état du système lorsque celui ci n’est pas complètement mesuré et de là, on peut utiliser cette estimation pour mesurer la sortie du système.

L’observateur est alors lui-même synthétisé sous la forme d’un système dynamique, avec son propre état interne, et une sortie devant idéalement reproduire (asymptotiquement) l’état du système observé.

À partir d’une valeur de l’état supposée à un instant donné, l’estimation asymptotique est alors assurée par une correction en ligne de cette valeur. En pratique, ce calcul s’appuie sur l’évolution de l’état prévu par le modèle du système, corrigée en fonction de l’écart entre la sortie obtenue à partir de l’état estimé et la sortie mesurée sur le système. La correction est donc avant tout choisie de façon à réduire cet écart, mais peut aussi être réglée selon les performances souhaitées telles que : rapidité d’estimation, précision, etc.

On perçoit alors l’intérêt de la méthode pour la détection de défauts qui est souvent basée sur une technique de générations d’informations redondantes par rapport à la sortie du système et d’analyse de ces redondances.

La possibilité de reconstruire une information interne sur le système au moyen des grandeurs externes disponibles peut être utile à plusieurs niveaux, citons par exemple :
-L’identification du procédé, au moyen de l’estimation des grandeurs constantes qui paramétrisent le modèle,
– La commande du procédé, qui nécessite souvent la connaissance de son état interne,
– La surveillance du procédé, à travers les écarts entre le comportement de 1′ observateur et celui du procédé.

Observabilité des systèmes linéaires 

Notion d’observabilité

Un système est observable si n’importe quel état x(to) à to peut être déterminé par l’observation (la mesure) de la sortie y(t) sur un intervalle de temps t₀  ≤ t ≤  t₁ L’observabilité réfère à la capacité d’estimer les états d’un système à travers ses sorties.

Soit un système linéaire invariant dans le temps décrit par le modèle linéaire idéal :

x ( t) = Ax ( t) +Bu ( t), avec x ( t₀ ) = x₀

y(t) = Cx(t)

où x ( t) représente l’ état du système,
u ( t) la commande,
y ( t) la sortie,
x₀ 1 ‘état initial du système,
A (nxn) étant la matrice de transition ou d’évolution de l’état,
B(nxm) la matrice d’entrée ou de l’application de la commande u ( t),
C(pxn) la matrice d’observation.

Mathématiquement, une condition suffisante d’observabilité locale et globale est vérifiée à travers la matrice d’observabilité Q qui doit être de rang n (égal à l’ordre du système).

A noter que dans le cas d’un système non linéaire, il n’existe pas de condition géométrique globale garantissant l’observabilité. Cependant, il est possible de caractériser une observabilité faible, selon laquelle tout point est instantanément discernable de son voisin par la même condition citée plus haut selon Hermann [22].

Lorsqu’un système est observable, il existe des méthodes qui permettent de reconstruire ou estimer son état. Dans le cas de système stochastique, on utilise, par exemple, le filtre de Kalman, et lorsque le système est déterministe, on peut utiliser un observateur d’états de type Luenberger.

D’après Luenberger [23] un système dynamique libre noté S2 dont l’entrée est contrôlée par la sortie d’un système dynamique libre SI verra sa sortie tendre vers l’état du système noté SI. C’est sur ce principe qu’est basée la théorie des observateurs.

Détermination de la matrice de gain 

Il existe plusieurs méthodes permettant de fixer l’ évolution dynamique de l’ erreur d’estimation de l’état x( t) par le choix des valeurs propres de la matrice (A- KeC). Une méthode couramment utilisée est celle des placements de pôles [23].Une deuxième méthode est celle de Bass et Gura selon Borne [24] ou encore celle basée sur la formule d’ Ackermann à travers une transformation du système sous forme canonique observable [25]. Une méthode développé par Kautsky [26], basée sur la technique d’optimisation quadratique peut être utilisée.

Observateurs d’états des systèmes non linéaires 

Les processus dynamiques souvent rencontrés dans la pratique présentent dans la plupart des cas des non linéarités qui sont parfois incontournables. Sur de tels processus, les méthodes de détection de défauts ou diagnostic basées sur des systèmes linéaires, comme c’est le cas pour notre système, peuvent s’avérer inadaptées. Il convient alors de trouver et de traiter le système par des méthodes appropriées.

Vu que nous portons une grande attention à la génération de résidus pour la détection de défauts par la génération de redondance à travers des observateurs ou estimateurs d’états sur les systèmes non linéaires, on estime que ces derniers seront différents les uns des autres en aspect évidemment (forme) suivant la non linéarité du procédé. La seule chose essentielle qu’on doit garder en vue réside en la méthode adoptée pour la génération de résidus qui doivent être robustes vis-à-vis des non linéarités du système et n’être sensibles qu’aux éventuels défauts de procédé ou d’instrumentation.

On pourra retrouver plusieurs méthodes de construction d’observateurs non linéaires dans la littérature [22, 27] et qui peuvent être regroupées en plusieurs grandes catégories :
– Transformation sous forme canonique pseudo linéaire,
– Observateurs adaptatifs,
– Observateurs en mode glissant,
– Observateurs à grand gain.

Une des originalités dans le domaine de l’utilisation des observateurs non linéaires pour la détection est, par exemple, celle de 1′ observateur de Walcott et Zak [27] qui ont utilisé la fonction de lyapunov pour l’étude de la stabilité de l’erreur d’estimation d’état de leur observateur.

Dans cette méthode, les systèmes étudiés doivent particulièrement comporter une partie linéaire et une partie non linéaire bornée avec en plus une sortie qui est fonction linéaire de l’état. La construction de l’observateur est divisée en deux étapes dont la première traite uniquement la partie linéaire en supposant l’ autre partie non linéaire nulle et donc les techniques de construction d’observateurs linéaires seront appliquées en vue d’assurer la stabilité de la partie linéaire. La deuxième étape est de choisir une fonction y telle que l’ erreur d’estimation converge vers zéro lorsque t augmente toujours selon la théorie de lyapunov.