Racines du polynôme conjugué et systèmes équivalents

L’ensemble de Mandelbrot

Dans cette section, notre intérêt est porté sur les systèmes dynamiques complexes générés par des polynômes complexes de degré deux. Soit R(z) = az2 + 2bz + d, où a, b, d E IR et a =1 0, une fonction quadratique et considérons la transformation de M6bius suivante: M(z) = az +b. On remarque que (MoRoM- 1 )(z) = Z2+C, avec c = ad + b – b2. Par conséquent, on dit que les fonctions Q2,c(Z) = Z2 + cet R(z) sont analytiquement conjuguées, i. e. les applications Q2,c et R génèrent des systèmes dynamiques équivalents. Nous pouvons donc nous limiter aux fonctions quadratiques de la forme Q2,c (z) = Z2 + c dans l’étude des systèmes dynamiques complexes générés par des polynômes de degré deux. Maintenant, considérons la fonction quadratique Q2,c(Z) = Z2 + c. On s’intéresse aux paramètres c telle que la suite des itérées {Qîc(O) }: =1re ste bornée. L’ensemble de tels paramètres c est l’ensemble de Mandelbrot. La figure 2.1 représente l’ensemble de Mandelbrot. On peut remarquer que l’ensemble de Mandelbrot est symétrique par rapport à l’axe réel. En fait, c’est le cas puisque Q~c (O) = Q~(JO) et donc que IQ~ë (O)1 = IQ~c (O)I· Ainsi, on a que c E M 2 si et seulement si c E M 2 .

L’ensemble de Mandelbrot possède plusieurs propriétés. Les preuves se trouvent dans les références suivantes La propriété (a) et (c) implique que l’ensemble M 2 est un compact de C(h). La propriété (b) est à la base d’un algorithme simple pour visualiser l’ensemble de Mandelbrot. En effet, il est possible d’itérer le polynôme Q2,c jusqu’à un certain nombre N d’itérations. À chaque itération, on vérifie si le module de l’itérée est inférieur à 2. Si c’est le cas, on continue l’itération, sinon on arrête l’algorithme et on colore le pixel de l’image selon l’itération atteinte. Ceci permet de savoir approximativement si un nombre c appartient ou non à l’ensemble de Mandelbrot en un temps fini. Puis, la propriété (d) est un résultat célèbre en théorie des systèmes dynamiques qui a été démontré par A. Douadyet J.H. Hubbard [DH82]. Nous allons porter davantage notre attention sur la propriété (f) . En effet, les prochaines sections de ce chapitre tenteront d’étendre ce résultat aux ensembles de Mandelbrot du polynôme Qp,c. Plus précisément, nous allons reprendre la preuve de la propriété (f) et ajouter des éléments complémentaires. Tout d’abord, nous allons démontrer deux lemmes utiles à la preuve de la propriété (f) du théorème 2.2.

Coupes tridimensionnelles

En vertu de la définition 3.4, une coupe 3D de l’ensemble M~ est l’ensemble où ik =f im , ik =f il et il =f im · L’entier p permet de distinguer quel polynôme est utilisé pour le calcul des itérées de celui-ci. D’ailleurs, nous employons seulement la notation TP lorsque le contexte est clair. Aussi, le but de cette section est d’établir certaines relations entre les coupes 3D générées par l’ensemble TP. Plus précisément, nous appréhendons une classification de ces coupes selon leur dynamique afin de dépouiller les 56 coupes possibles. La prochaine définition va nous aider à atteindre ce but. Définition 3.8. Soit 7?(ik, im , il) et Ti(in , iq , is) deux coupes 3D d’un ensemble de Mandelbrot tricomplexe M~. i) On définit les ensembles Ml et M2 comme étant les sous-espaces vectoriels de M(3) de plus petite dimension tels que Q;’C} (0) E Ml Vm E N, VCI E 1I'(ik , im , il) et Q;’C2 (0) E M2 Vm E N, VC2 E 1I'(in , iq , is). ii) 7? rv Ti s’il existe une application linéaire bijective ‘P : Ml ~ M2 telle que VC2 E 1I'(in , iq , is), ::JCI E 1I'(ik , im , il) tel que ‘P(CI) = C2 et (‘P 0 Qp,C} 0 ‘P-I)(Tl) = Qp,C2(Tl) VTl E M2 · Dans ce cas, on dit que 7? et Ti ont la même dynamique. Remarque 25. Cette définition est inspirée de celle de V. Garant-Pelletier et D. Rochon [GPR08]. Ici, les espaces vectoriels Ml et M2 dépendent fortement de la puissance du polynôme Qp,c. De plus, d’après la définition de Ml, l’espace 1I'(ik, im, il) C Ml puisque Qp,C} (0) = Cl E Ml’ De même, l’espace 1I'(in, iq , is) C M2 puisque Qp,C2 (0) = C2 E M2 La définition 3.8 est en fait une façon de conjuguer deux fonctions à valeurs tricomplexes.

Le fait d’obtenir une telle conjugaison particulière permet de relier les itérées de deux polynômes. En fait, s’il existe une application linéaire bijective cp : Ml ~ M2 avec cp 0 Qp,q 0 cp-l = Qp,C2′ alors pour tout entier m 2′: 1 (3.5) Comme Ml et M2 contiennent respectivement les itérées de Qp,q et de ‘Qp,C2’ les domaines de définition des membres de gauche et de droite de la relation (3 .5) demeurent consistants. D’ailleurs, cette relation permet de passer des itérées du polynôme Qp,q aux itérées du polynôme Qp,C2 et donc de passer d’un système dynamique à un autre. De plus, comme cp est une application linéaire bijective, {Qpmc (O)}OO ,1 m=l est bornée si et seulement si {Q;’C2 (0) } :=1 est bornée. Un concept similaire est souvent utilisé en théorie des systèmes dynamiques. D’une manière plus générale, l’application cp est un homéomorphisme [Dev03, chap.1, p.47]. On peut déduire, de la définition, le lemme suivant. Lemme 3.1. Supposons que cp : Ml ~ M2 est une application linéaire bijective telle que YC2 E ll'(in, iq, is), il existe Cl E ll'(ik ‘ im , il) tel que CP(Cl) = C2. Alors, cp (1l'(ik, im , il)) = ll'(in, iq t is) . Démonstration. Soit {ik’ im , il} une base évidente de ll'(ik’ im , il )’ Comme cp est bijective, alors cette dernière application est non singulière. Par conséquent, {cp(ik), cp(im ) , cp(il)} forme une base de cp(ll'(ik, im , il )) [DF99, Cor. 9, p. 413]. Or, comme ll'(in, iq, is) C cp (ll'(ik, im , il)) et les deux espaces sont de même dimension, on conclut que

ENSEMBLES DE MANDELBROT TRICOMPLEXES

Dans la preuve de ce théorème, nous allons utiliser le fait connu que la composition de deux applications linéaires bijectives demeure une application linéaire bijective et que l’inverse d’une application linéaire bijective est une application linéaire bijective. Il faut aussi remarquer que la dimension des sous-espaces vectoriels est conservée par l’application linéaire bijective. Ces faits se trouvent dans bon nombre d’ouvrages d’algèbre linéaire, dont celui de D. S. Dummit et R. M. Foote Pour démontrer que la relation rv est une relation d’équivalence sur l’ensemble des coupes 3D TP, on doit démontrer que :

1) Supposons que TP(ik, im, il) est une coupe tridimensionnelle quelconque. Considérons M comme étant l’espace vectoriel de plus petite dimension contenant la suite {Q;’c(O)} :=1· Dans ce cas, il suffit de poser ‘P(ry) = ry Vry E M. Ainsi, Vc E 1I'(ik, im, il ), ‘P(C) = C et ‘P ° Qp,c 0 ‘P-l = Qp,c- D’après la définition 3.8, TP rv TP.

2) On veut montrer que quelque soit Tt et /.f, si Tt rv /.f, alors /.f rv Tt. Supposons deux coupes Tt(ik, im, il) et /.f(in , iq, is) quelconques. Si Tt rv /.f, alors il existe une application linéaire bijective ‘P : Ml –+ M2 telle que VC2 E 1I'(in, iq, is), 3Cl E 1I'(ik, im, il) tel que ‘P(Cl) = C2 et ‘Po Qp,C} 0’P-l = Qp,C2. Or, comme ‘P est inversible, en composant à gauche par ‘P-l et à droite par ‘P, on obtient Qp,Cl = ‘P-l 0 Qp,C2 0 ‘P. De plus, d ‘après le lemme 3.1, ‘P(1I'(ik, im, il)) = 1I'(in, iq, is). Donc, comme ‘P est bijective, alors 1I'(ik, im,’il) = ‘P- l (1I'(in, iq, is)). Ainsi, en prenant ‘P-l comme fonction dans la définition 3.8, on obtient que /.f rv Tt·

3) Enfin, nous montrons que rv est transitive. Soit Tt(ik, im, il) rv /.f(in , iq, is) et /.f(in , iq, is) rv 7l(iv, it, ir). Alors, il existe une application linéaire bijective ‘Pl : Ml –+ M2 telle que VC2 E 1I'(in, iq, is), il existe Cl E 1I'(ik, im, il) tel que ‘Pl(Cl) = C2 et (‘PlO Qp,C} 0 ‘Pll)(ry) = Qp’C2 (ry) Vry E M2. Aussi, il existe une application ‘P2 : M2 –+ M3 tel que VC3 E 1I'(iv, it, ir), il existe C2 E 1I'(in, iq, is) tel que ‘P2 (C2) = C3 et (‘P2 0 Qp,C2 0 ‘P »2l) (ry) = Qp,C3 (ry) Vry E M3· Posons ‘l/J := ‘P2 0 ‘Pl et’l/J: Ml –+ M3· Soit C3 E 1I'(iv, it , ir). Alors, il existe un C2 E 1I'(in,iq , is) tel que ‘P2(C2) = C3· De plus, il existe un Cl E 1I'(ik’ im, il) tel que ‘PI(CI) C2· Ainsi, on a que ‘ljJ ( Cl) = ‘P2 ( ‘Pl ( Cl)) = ‘P2 ( C2) = C3 et si rJ E M3, alors, comme Qp,C2(rJ) = (‘PlO Qp,Cl 0 ‘PII)(rJ) ‘ï/rJ E M2’ on a que Qp,C3(rJ) = (‘P2 0 Qp,C2 0 ‘P21)(rJ) Donc, ‘Tt rv Tl. = (‘P2 0 ‘PlO Qp,Cl 0 ‘PlI 0 ‘P21)(rJ) = (‘ljJ 0 Qp,Cl 0 ‘ljJ-I) (rJ). En conclusion, d’après 1), 2) et 3), on conclut que rv est une relation d’équivalence sur l’ensemble des coupes 3D des ensembles multibrots tricomplexes.

Remarque 26. La relation rv permet de classifier les différentes dynamiques issues des coupes tridimensionnelles de l’ensemble de Mandelbrot tricomplexe. En effet, d’après le dernier théorème, cette dernière relation est une relation d’équivalence. Ceci permet de faire des classes d’équivalence et donc de partitionner l’ensemble des coupes 3D des ensembles multibrots tricomplexes. Aussi, lorsque les ensembles ont la même dynamique, leur visualisation 3D dans un logiciel sera la même. Par le fait même, on peut dire que ‘Tt et Tl sont symétriques lorsque ‘Tt rv Tl. • v. Garant-Pelletier (voir [GPll]) a remarqué que les itérées du polynôme Q2,c reste fermé ou ne reste pas fermé dans l’ensemble M(im , il) lorsque le nombre C respecte certaines conditions. En fait , le premier cas se produit lorsque imil = ±ik ou ik = 1. Sinon, si nous n’avons ni l’une ni l’autre des propriétés du premier cas, les itérées ne sont pas fermées dans l’espace M(im, il ). Ce dernier cas est précisément celui où les itérées du polynôme Q2,c se calculent dans M(3). Ceci est expliqué à la prochaine sous-section. Pour bien comprendre notre exploration des ensembles multibrots tricomplexes qui sera présentée dans la prochaine sous-section, nous présentons brièvement les résultats de V. Garant-Pelletier et D. Rochon [GPR08] pour l’ensemble de Mandelbrot tri complexe M~. Nous allons, par la suite, explorer l’ensemble de Mandelbrot tricomplexe M~. Nous remarquerons que les coupes tridimensionnelles de M~ présentent de grandes différences, autant sur le plan du calcul des itérées du polynôme Q3,c vis-à-vis le calcul de celles de Q2,c que sur celui du nombre de coupes principales tridimensionnelles présentes.