Exercices corrigés récapitulatifs de probabilités discrètes

Exercices récapitulatifs de probabilités discrètes

Exercice 

Une usine fabrique des pièces en grande série, en deux phases indépendantes. La première phase est susceptible de faire apparaître un défaut X et la seconde un défaut Y.
Une pièce peut présenter le défaut X dans 2% des cas et le défaut Y dans 8% des cas.
Quelle est la probabilité qu’une même pièce tirée au hasard :
a) présente les deux défauts ? P(A) ?
b) présente au moins l’un des deux défauts ? P(B) ?
c) présente un et un seul des deux défauts ? P(C) ?
d) ne présente aucun des deux défauts ? P(D) ?
N.B. Il est utile de représenter graphiquement (via des diagrammes de Venn) les événements dont on cherche la probabilité ; de montrer que si un événement X et un événement Y sont indépendants, leurs complémentaires le sont également ainsi que de développer les solutions de façon alternative via un diagramme en arbre.

Solution 

Quelle est la probabilité qu’une même pièce tirée au hasard :
a) présente les deux défauts ? P(A) ?
Soit : X : « La pièce présente le défaut X » ; Y : « La pièce présente le défaut Y ».
Alors : P(X) = 0,02 ; P(Y) = 0,08 ; P( ) = 0,98 ; P( ) = 0,92.
X et Y sont indépendants de même que et .
Preuve :
Si X et Y sont indépendants,
P(XY) = P(X).P(Y) et P( ) = 1 – P(X) et P( ) = 1 – P(Y).
Si et sont indépendants,
P(  ) = P( ).P( ) = (1 – P(X)).(1 – P(Y)) = 1 – P(X) – P(Y) + P(X).P(Y).
Or (  ) = ~(XY) (Loi de de Morgan)et P(XY) = P(X) + P(Y) – P(X).P(Y).
Donc P(~(XY)) = 1 – P(XY) = 1 – P(X) – P(Y) + P(X).P(Y) = P(  ). q.e.d.
Donc P(A) = P(X et Y) = P(XY) = P(X).P(Y) = 0,02 . 0,08 = 0,0016.
b) présente au moins l’un des deux défauts ? P(B) ?
P(B) = 1 – P(  ) = 1 – P( ).P( ) = 1 – (0,98 .0,92) = 0,0984.
c) présente un et un seul des deux défauts ? P(C) ?
P(C) = P(X ou(excl.) Y) = P(XY) – P(XY) = P(X) + P(Y) – 2 . P(XY)
= 0,02 + 0,08 – (2 .(0,02 . 0,08))
= 0,10 – 0,0032 = 0,0968.
ou P(C) = P(B) – P(A) = 0,0984 – 0,0016 = 0,0968.
ou P(C) = P(X et ) ou (excl.) P( et ) = P(X  ) + P(  ) :
en effet P(X et )  P( et ) = P(X  ) (  ) = ,
donc P(C) = 0,02 . 0,92 + 0,08 . 0,98 = 0,0968.
d) ne présente aucun des deux défauts ? P(D) ?
P(D) = 1 – P(B) = 1 – 0,0984 = 0,9016.
ou
P(D) = P( et ) = P(  ) = P( ) . P( ) = 0,98 .0,92 = 0, 9016.