Modélisation du comportement des matériaux hétérogènes par changement d’échelle

Ad dition séquentielle aléatoire (R SA)

La méthode RSA est une méthode d’ajout séquentiel de type stochastique (Fig. 2.2). De façon générale, la procédure d’ajout d’une nouvelle particule à l’intérieur d un VES s’effectue comme suit. La première étape consiste à générer une nouvelle particule. Un t irage aléatoire, basé sur une distribution prédéterminée, génère les coordonnées de la position d’une nouvelle particule. Les paramètres géométriques de la particule sont obtenus, soit de façon déterministe soit de façon aléatoire. Par exemple, le rayon des particules sphériques ou cylindriques peut suivre une distribution de taille déterminée expérimentalement ou être constant. L’orientation des particules peut aussi être fixe ou aléatoire. La seconde étape de la méthode consiste à déterminer si la nouvelle particule intersecte une ou plusieurs particules déjà présentes et si, dans certains cas, elle respecte une distance minimale (Distmin ) avec les particules voisines. Lorsqu il y a intersection ou que Distmin n’est pas respectée, la particule est rejetée et une nouvelle particule est générée. Autrement, la particule est insérée.

L’ajout de particules prend fin lorsque la fraction volumique (fvolcible ) cible est atteinte [9, 10]. Une des problématiques de cette méthode est la détection des intersections entre particules. Cette étape de détection est réalisée à chaque nouveau tirage et doit par conséquent être rapide et précise. Suivant les nombreux travaux basés sur le problème de l’inclusion d’EsHELBY [8] et considérant la difficulté de détection d’intersections, il n’est pas surprenant de constater que dans plusieurs travaux de recherche, la particule soit représentée par une sphère. L’utilisation de la sphère simplifie grandement la détection des intersections. En effet, il suffit simplement de connaître les centres et les rayons des deux particules pour savoir si elles se chevauchent [11- 19]. Il en va de même pour le respect de la distance minimale entre particules. Pour utiliser des formes de particules plus complexes, il faut avoir recourt à des algorithmes de calcul plus avancés. L’algorithme proposé par Lin et al. [20] permet de calculer itérativement la distance entre deux ellipsoïdes et fut utilisé [16 , 21 , 22] comme méthode de détection d’intersections. L’intersection de deux cylindres peut être réalisée en calculant la distance minimale entre les deux axes et en vérifiant que cette distance est supérieure à 2r + d où r est le rayon du cylindre et d la distance minimale à observer [23- 25] .

Finalement, l’intersection entre deux particules de forme polyédrique est déterminée en vérifiant si un point d’une particule existante se trouve d’un côté d’un des plans de la nouvelle particule tandis que les autres points se trouvent de l’autre côté du plan [26]. Génération de microstructures à fraction volumique élevée La seconde problématique de la méthode RSA est l’obtention de fractions volumiques élevées. Puisque les particules insérées dans le VES sont fixes , l’insertion de nouvelles particules augmente considérablement la probabilité d’intersections. Cette problématique complique la génération de microstructures obtenues par un procédé qui permet aux particules de bouger et de se compacter. Pour des particules sphériques de même taille, la fraction volumique maximale atteignable de 7l’ j(3V2) ~ 74.1% est obtenue avec une configuration de type cubique à faces centrées ou une configuration hexagonale compacte [27]. Cette fraction volumique est cependant loin des fractions volumiques observées avec la méthode RSA qui ne dépassent pas 40% (38.5% [28], 38.2% [29]). Afin de dépasser cette limite, une procédure de compactage peut être employée pour entasser les particules en les déplaçant aléatoirement afin d’en ajouter davantage [14] et obtenir des fractions volumiques avoisinant 50% si les particules ne sont pas en contact et 60% si elles le sont

Approche par événements (event-driven) L’approche par événements consiste à détecter les collisions de façon analytique en tenant compte des paramètres de la dynamique des particules [30]. Cette approche est utilisée principalement avec des particules de formes sphériques compte tenu de leur géométrie simple qui permet de facilement déterminer les collisions (Fig. 2.4). Ainsi, à partir des équations de la dynamique des particules, il est possible de déterminer à quel instant surviendra la prochaine collision. Les positions, vitesses et accélérations des particules sont actualisées pour cette valeur de temps et la collision entre les deux particules est simulée. L’instant de la prochaine collision est déterminé et la simulation se poursuit. Lubachevsky et al. [31] ont proposé une méthode de croissance qui se base sur cette approche de gestion du temps. Tout d’abord, un tirage aléatoire positionne un certain nombre de centres de particules sphériques dans un volume fermé et périodique. Les sphères ont initialement un diamètre nul et un vecteur de vitesse déterminé aléatoirement est appliqué. Au fil du temps, les sphères grossissent et entrent en collision les unes avec les autres de façon élastique en préservant leur énergie cinétique. La simulation se termine lorsque la fraction volumique cible est atteinte.

Avec cette méthode, il est possible d’atteindre des fractions volumiques allant jusqu’à 65% (Fig. 2.5). La géométrie sphérique demeure cependant contraignante pour la génération de microstructures à particules non sphériques. Pour remédier à la situation, Donev et al. [32, 33] ont utilisé la géométrie simple de la sphère comme espace de détection de collisions et ont recouvert des particules allongées comme des ellipsoïdes d’une multitude de sphères. Les sphères, qui sont fixées à la particule, permettent la détection de collisions avec une autre particule recouverte permettant ainsi de simuler simplement des particules non sphériques en collision (Fig. 2.6). L’algorithme de Donev et al. est très robuste, car la progression de la simulation est pilotée en fonction des collisions. L’algorithme détecte de façon analytique les collisions à venir, les classe dans une liste en ordre de priorité et les traite une à la suite de l autre. Cet algorithme fut utilisé pour générer la répartition de particules de chanvre dans une matrice de chaux [34] et pour générer la microstructure d’un combustible nucléaire à particules [17]. FIGURE 2.6 – Groupe de sphères enveloppant un ellipsoïde [33] . Approche par incrément de temps (time-driven) Contrairement à l’approche event-driven, l’approche time-driven (Fig. 2.7) fait progresser la simulation par des petits pas de temps et réactualise la détection de collisions à chaque pas [35 ,36]. Ce type d’approche est moins robuste que la précédente, car il est possible, si le pas de temps est trop grand, qu’une collision ne soit pas détectée. L’ajustement du pas de temps est donc crucial. Cette méthode possède cependant l’avantage de modéliser des solides de formes convexes diverses (Fig. 2.8). Cette approche utilise la triangulation de la surface du solide et une boîte englobante pour la détection des collisions. Cette approche est habituellement utilisée dans la simulation de la dynamique des corps rigides en collision [37, 38].

État actuel de la CAO

La CAO comprend un ensemble de techniques de modélisation géométrique et de simulation numérique destinées à la conception, à la vérification et à l’optimisation de produits. Pour un utilisateur typique, les outils de la CAO sont présentés sous une interface graphique soignée et ergonomique qui permet de créer une pièce ou un assemblage selon des contraintes de fonctionnalité, d’assemblage ou de fabrication. Les informations relatives aux opérations de conception sont structurées et hiérarchisées dans un arbre de construction «feature manager» (Fig. 2.13). L’arbre de construction d’une pièce comprend, la séquence des fonctions caractéristiques «featuTe» (extrusion, coupe, chanfrein, balayage, etc.) les propriétés du matériau utilisé, les finis de surface, des annotations et bien plus encore. Le modèle BREP sous-jacent est automatiquement généré et modifié à chaque étape de la conception. La conversion de l’arbre de construction en un modèle BREP est réalisée à l’aide de méthodes d’évaluation des frontières qui permettent de retrouver automatiquement les entités géométriques et topologiques. Pour un assemblage, l’arbre répertorie les différentes pièces et leurs connexions (appui-plan, glissière, pivot, rotule, etc.) . Généralement, la conception d’une pièce est réalisée selon l’approche paramétrique. L’approche paramétrique (Fig. 2.13) permet de créer un modèle qui évolue en fonction des valeurs accordées aux paramètres géométriques et selon les contraintes appliquées aux entités géométriques. Un paramètre peut être une longueur, un angle, une profondeur, un nombre de trous, etc. Une contrainte définit une relation entre deux entités géométriques (parallélisme, concentricité, tangence, etc.). Les paramètres sont définis selon une valeur ou en relation avec un autre paramètre. Un modèle sous l’approche paramétrique est donc constitué d’un ensemble de paramètres et de contraintes qui grandit au fil de son élaboration. Le concepteur peut, au cours du processus de conception, modifier les paramètres ou les contraintes afin d’actualiser le modèle sans avoir à tout redéfinir. L’approche d’édition directe du BREP «direct madeling» (Fig. 2.14) peut aussi être utilisée en complément de l’approche paramétrique. L’approche directe est orientée sur le développement de la forme géométrique plutôt que sur ses fonctionnalités. Selon cette approche il est possible d’éditer le modèle BREP d’une pièce notamment en tirant ou en poussant une entité du modèle (face, arête, sommet).