Etat de l’art de la modélisation des transformateurs

Construction du transformateur et etat de l’art de sa modelisation

L’utilisation des transformateurs s’est generalisee rapidement suivant le rythme du developpement industriel. La distribution de l’energie electrique, qu’elle soit domestique ou industrielle, se fait generalement sous tension faible ou moyenne (220V, 380V ou 25kV) pour des raisons de commodite d’emploi et de securite. En revanche, le transport se fait sous tension elevee pour diminuer la valeur du courant de ligne et donc les pertes Joule dans les cables. Pour cela, il est necessaire, a l’entree d’une usine ou d’un batiment habitable, de disposer d’une machine permettant d’adapter le niveau de la tension de distribution aux dispositifs qui vont utiliser l’energie electrique. C’est le role des transformateurs de distribution. Selon la definition tiree du vocabulaire electrotechnique international, ≪ le transformateur est un appareil statique a induction electromagnetique destinee a transformer un systeme de courants variables en un ou plusieurs systemes de courants variables d’intensite et de tension generalement differentes mais de meme frequences ≫ [Barret-2002], donc cet appareil effectue un transfert energetique par voie electromagnetique. Nous allons parcourir dans ce chapitre la representation generale du transformateur a travers sa topologie geometrique d’une part et en definissant les differents phenomenes electrique et magnetique regissant son fonctionnement d’autre part.

Etat de l’art de la modélisation des transformateurs Il existe a l’heure actuelle trois niveaux de modelisation ; la modelisation par calcul du champ electromagnetique qui repose sur la resolution numerique par elements finis des equations de Maxwell. La modelisation par circuit magnetique equivalent, faisant intervenir des grandeurs obtenues par integration des variables B et H qui sont le flux magnetique _ et la difference du potentiel magnetique scalaire _. La troisieme et derniere methode concerne la modelisation par schema electrique equivalent, dite analytique. Dans ce type de modelisation on ne fait intervenir que les grandeurs electriques globales (tension, courant, les resistances, les inductances propres et les inductances mutuelles). Les deux dernieres methodes de modelisation citees sont les moins precises du fait qu’elles ne peuvent prendre en consideration la saturation que d’une maniere globale, cependant elles sont d’une importance considerable pour la comprehension du fonctionnement des appareilles electromagnetique. La modelisation par calcul de champs reste la methodologie la plus precise, elle est donc reservee pour des etudes plus fines des performances des systemes electromagnetiques [Bouali-2007].

Phénomènes magnétiques

L’elaboration d’un schema equivalent suppose de passer d’un probleme geometrique decrit dans un espace a deux ou a trois dimensions (ce que nous appelons un modele « spatial ») a seulement quelques grandeurs caracteristiques: les elements localises d’un schema electrique. Dans un premier temps, nous cherchons uniquement a representer les phenomenes magnetiques ou « inductifs », c’est-a-dire le fait qu’une variation du flux embrasse par un conducteur induit dans celui-ci une force electromotrice. Le flux embrasse depend precisement des caracteristiques geometriques et physiques (ici la permeabilite) du probleme. Dans un materiau lineaire, celles-ci peuvent etre resumees en un coefficient d’inductance constant liant le flux au courant qui lui donne naissance Plus precisement, l’inductance est proportionnelle au carre du nombre de tours de l’enroulement (N) et inversement proportionnelle a la reluctance [Robert-1999]: Cette reluctance est l’analogue magnetique de la notion de resistance. Elle vaut classiquement pour un tube de flux de longueur _ et de section _ constante: C’est donc bien cette derniere grandeur qui permet finalement la traduction d’un phenomene spatial en une seule grandeur caracteristique, propre au modele considere. Certains schemas sont d’ailleurs bases sur la decomposition du probleme geometrique en reluctances. La fonction premiere du transformateur est d’assurer un couplage entre ses deux enroulements, couplage qui trouve son origine dans l’existence d’un flux commun a ceux-ci. Le couplage est parfait lorsque la totalite du flux est commun aux deux enroulements. On prefere habituellement utiliser pour un transformateur a deux enroulements le schema classique de la figure I.5. Celui-ci est construit autour d’un coupleur (transformateur parfait) auquel on ajoute des elements parasites: une inductance de magnetisation L_ et deux inductances de fuite, L_ et L_ respectivement au primaire et au secondaire.

formulation elements finis et couplage electriques-magnetique

Les phenomenes qui decrivent le comportement des dispositifs electromagnetiques sont representes par des equations aux derivee partielles, ces phenomenes se trouvent dans des regions de geometrie tres variee (Exemples : piece des machines tournantes, transformateurs…..etc.). La resolution de ces equations se fait a l’aide de methodes analytiques ou de methodes numeriques. Il n’existe pas de methodes analytiques pour apprehender les problemes particulierement ardus et dont la geometrie est complexe. On a donc recourt a des methodes numeriques qui font appel a des techniques de discretisation spatiale, en effet, elles transforment les equations aux derivees partielles du champ en un systeme d’equations algebriques dans le domaine d’etude compte tenu des conditions aux limites. Dans ce qui suit on s’interessera a la methode des elements finis pour la resolution des equations aux derivees partielles regissant les phenomenes magnetostatique et magnetodynamique en potentiel vecteur magnetique_. On se limitera a la presentation de la methode projective de Galerkine qui sera utilisee dans notre cas.

La méthode des éléments finis

La methode des elements finis est une methode de resolution numerique qui s’est fortement developpee depuis l’avenement de l’informatique. Cette methode a ete utilisee initialement pour l’analyse des structures (Genie Civil). Elle fut introduite en electromagnetisme par M.V.K. Chari et P.P. Sylvestre vers 1970. Son champ d’application actuel couvre de nombreux domaines (contraintes et deformation, mecanique des fluides, probleme thermique, electromagnetisme) et par la suite, les problemes couples magnetothermique, magneto-mecanique et magnetoelectrique. La methode des elements finis est une methode de portee generale etant donne qu’elle permet la modelisation de tous systeme physique regit par les equations aux derivees partielles. Dans la plupart des cas cette methode s’integre a des Logiciels CAO (conception assister par ordinateur). Ce qui constitue un avantage de taille pour l’ingenieur appele a concevoir des systemes physiques desires [Mohellebi-2008]. L’avantage de s’adapter aux geometries complexes et la prise en consideration des non linearites ont fait que la methode des elements finis soit tres utilisee en electromagnetisme.

Interprétation des résultats en régime harmonique Les tableaux IV.5 et IV.7 respectivement montrent bien qu’en regime harmonique a vide, le courant total au primaire est egal au courant impose et dans le secondaire on trouve un courant parfaitement nul, et dans le regime harmonique en charge, le courant total au primaire et au secondaire sont egaux aux courants imposes. La figure IV.3 represente l’allure du module potentiel vecteur magnetique. On observe une concentration des lignes de champ a la surface et sur une epaisseur o du circuit magnetique, ce qui se traduit par le phenomene d’effet de peau dans les materiaux conducteurs et a l’interface entre les deux enroulements, cette concentration diminue loin de cet intervalle, l’enroulement basse tension (interieur) a une haute attraction du flux de fuite du a la haute permeabilite du circuit magnetique. La figure IV.4 donne la repartition du module du potentiel vecteur magnetique dans un segment suivant l’axe des abscisses, cette repartition concorde parfaitement avec l’allure du potentiel vecteur magnetique donne par la figure IV.3. Les figures IV.5 et IV.9 representent les allures de l’induction magnetique.

On constate facilement qu’une augmentation des grandeurs source provoque une augmentation de l’induction magnetique. Cela veut dire que l’induction magnetique et proportionnelle aux grandeurs de source. Les figures IV.6 et IV.10 donnent la repartition de l’induction magnetique dans un segment suivant l’axe des abscisses, cette repartition concorde parfaitement avec les allures de l’induction donne par les figures IV.5 et IV9. Les figures (IV.7, IV.11) et (IV.8, IV.12) representent respectivement, les densites de puissance dans les enroulements primaires et secondaires, on voit bien que les valeurs les plus importantes de celle-ci sont relevees au niveau de la phase du milieu ce qui est en concordance avec les courants imposes. On constate aussi que dans le regime harmonique en charge les densites de puissances sont plus elevees au secondaire qu’au primaire et ceci et due au courant le plus eleve dans l’enroulement secondaire, contrairement au fonctionnement a vide.