Théorie pour la modélisation d’un aéronef

THÉORIE POUR LA MODÉLISATION D’UN AÉRONEF 

Concept
Pour effectuer des essais sur un contrôleur pour une éventuelle mise en ligne, il est nécessaire de tester la technique avec une simulation temporelle. Pour créer cette simulation, une modélisation du système physique doit être développée à l’aide de formules mathématiques. Définir l’espace et un système de repérage dans lequel l’objet peut se déplacer est la première étape du processus qui est vitale à la démarche. Plusieurs repères seront introduits pour prendre en compte les différents aspects de la modélisation. Nous développerons également une méthode pour naviguer entre ces repères permettant de suivre parallèlement la progression dans les différents référentiels. Un avion peut être représenté par un objet rigide avec six degrés de liberté. Nous devons alors introduire les équations qui décrivent cette dynamique. En combinant la somme des forces, les moments, les vitesses linéaires et angulaires, il est possible d’obtenir les six composantes d’accélération, permettant le calcul de l’évolution de l’état dans chaque repère. Un dernier aspect théorique sera également abordé, la linéarisation, qui aidera pour discuter de la stabilité du système.

Repères
Afin de pouvoir décrire le mouvement d’un objet physique, il est nécessaire de décrire un espace dans lequel l’objet peut se déplacer. Les différentes définitions contribuent à l’analyse de la dynamique de l’objet. Un repère est un ensemble de vecteurs et un point d’origine pouvant être utilisés pour déterminer des distances et des directions (Stevens, Lewis, & Johnson, 2015). Un seul repère est suffisant pour étudier le déplacement d’un objet dans son entier. Cependant, certains se prêtent mieux que d’autres à l’analyse pour différentes analyses ou représentations. Par exemple, un repère cartésien fixe dans lequel un aéronef se déplace est idéal pour la position. À l’opposé, essayer de décomposer les forces et moments agissant sur l’avion n’est pas une tâche aussi facile avec ce dernier. En définissant un repère qui se déplace avec l’aéronef, le calcul des forces sera facilité. Dans le cadre de ce projet de recherche, nous utiliserons les repères tels que définis par le document de référence de la modélisation (Hanke & Nordwall, 1970) : le repère-avion, le repère stabilité et le repère-vent. Tout d’abord, nous devons introduire un repère décrivant la position de l’aéronef et dans lequel il peut se déplacer, le repère cartésien North-East-Down (NED).

Repère cartésien NED 

Le repère cartésien NED contribue à la description de la position de l’aéronef dans l’espace. Un point d’origine est tout d’abord défini. Il s’agit normalement de l’aérodrome de départ ou du point de départ de la simulation. L’axe ze est ensuite tracé parallèlement à la force gravitationnelle de ce point, vers le centre de la Terre. Un plan perpendiculaire à ce vecteur, passant par le point d’origine, est alors utilisé afin de tracer les deux autres axes, xe pointant vers le nord et ye pointant vers l’est .

Ce référentiel n’est pas inertiel, c’est-à-dire qu’il est en constante accélération. La Terre est en rotation sur elle-même et également en orbite autour du Soleil. Une surface plane représente l’espace dans lequel l’aéronef évolue autour du point d’origine. Bien que cette représentation ne soit pas représentative de la Terre, son utilisation est appropriée pour déterminer la position d’un aéronef évoluant à proximité du point d’origine, tel que requis pour la validation de lois de commande, et du même coup ignore la force de Coriolis et la force centrifuge qui sont générées par le déplacement de la Terre (Stevens et al., 2015, p.41). En d’autres mots, il peut être considéré comme référentiel inertiel. Ce repère permet d’atteindre une modélisation satisfaisante de la réalité, si la distance du point d’origine se limite à quelques centaines de milles nautiques (Stevens et al., 2015, p.41).

Repère-avion 

Le repère cartésien NED offre une méthode adéquate pour décrire la position de l’aéronef ainsi que la vitesse totale. Cependant, la description de l’accélération par développement mathématique est laborieuse. Pour cette raison, nous pouvons utiliser le repère-avion afin d’accomplir cette tâche. Le point d’origine est défini avec le centre de gravité de l’aéronef. Le premier axe, xb, est parallèle à la ligne de référence horizontale. L’axe zb pointe vers le bas et forme un plan, avec xb, faisant une réflexion de l’avion. Finalement, l’axe yb est normal à ce plan, pointant à tribord de l’appareil .

Il existe plusieurs avantages avec ce référentiel afin de décrire ces variables locales. En utilisant ce repère, il est possible de découpler la dynamique linéaire de la dynamique angulaire (Stevens et al., 2015, p.34). La combinaison des différentes composantes de vitesse permet de calculer des variables nécessaires à la modélisation, par exemple, l’angle d’attaque (α ) et l’angle de dérapage (β) Les équations décrivant le mouvement linéaire sont simplifiées, étant donné que l’accélération du centre d’inertie est obtenue par la somme de toutes les forces agissant sur l’avion, peu importe leur point d’application (Stevens et al, 2015, p.34). De plus, les angles d’Euler, nécessaires à la création de la simulation, sont formés avec la différence d’orientation entre le repère-avion et le repère cartésien NED.

Repère-stabilité 

Les forces de portance et de traînée sont définies comme étant respectivement les résultantes aérodynamiques perpendiculaire et parallèle au vecteur de vitesse pour un état de vol à l’équilibre. Le repère-stabilité permet de travailler avec un référentiel aligné avec ces composantes. En effectuant une rotation du repère-avion dans le plan xb-zb, l’axe xs pointe parallèlement au vecteur de vitesse propre, le vecteur du déplacement de l’avion dans la masse d’air, lorsque l’angle de dérapage est nul. L’axe ys est parallèle à yb créant un plan xb-yb, permettant la définition de l’axe zs normal à ce plan, pointant sous l’avion .

Les principaux avantages de ce repère sont sa relation avec la collecte de données expérimentales lors d’essais en vol et en soufflerie (Cook, 2013, p.18) et sa simplicité pour l’analyse des effets de perturbations sur un vol stabilisé (Stevens et al., 2015, p.76).