Historique et évolution des fractales

Galilée avait dit en 1610 que les mathématiques étaient le langage de la nature et que « ses personnages sont des triangles, des cercles, et d’autres figures géométriques ». Sa mathématisation de la physique semblait alors lui donner raison. Cependant trois siècles plus tard le mathématicien français Benoît Mandelbrot affirma que  » les nuages ne sont pas des sphères, les montagnes ne sont pas des cônes, les côtes ne sont pas des cercles, l’écorce n’est pas lisse et l’éclair ne se déplace pas non plus en ligne droite ». On est alors amené à se demander qui a raison et qui a tort. Les fractales pourraient réconcilier les deux points de vue[9].

La plus ancienne référence retrouvée dans la documentation sur les fractales est le livre « Tangencies » qui nous vient d’Apollonius de Perge, un disciple d’Euclide et remonte à trois siècles avant J.C. [3]. Toutefois, ce n’est qu’en 1500 qu’Albrecht Dürer crée la toute première image fractale. Cette image est constituée d’un pentagone, à l’intérieur duquel on dessine 5 pentagones disposés autour d’un sixième central. En répétant cette opération à l’infini, Ensuite, en 1700, Leibniz pose la notion d’autosimilarité de certains objets. De là, de plus en plus de mathématiciens vont tenter de recréer des courbes qui se répètent à l’infini comme par exemple les fonctions de Weierstrass, décrites par Karl Weierstrass en 1815, la poussière de Cantor qu’il a publié, en 1883, les courbes de Peano et de Hilbert, imaginées par Giuseppe Peano en 1890 et David Hilbert en 1891, la courbe de Koch  , décrite par Helge Von Koch en 1904, et le tapis et le tamis de Sierpinsky imaginés par Waclaw Sierpinsky en 1916  [11].

En 1918, Hausdorff, mathématicien allemand a énoncé l’idée qu’il existerait des objets géométriques dont la dimension ne serait pas un entier. On commence alors à percevoir la notion de dimension fractale [9]. Ce n’est qu’en 1925 que la première représentation graphique de l’ensemble de Julia est apparue . Richardson, dans la même année, posa le problème métrique des côtes géographiques, ce qui inspirera Mandelbrot dans ses travaux [10].

En effet Le concept de géométrie fractale a été introduit pour la première fois par le mathématicien Français Benoît Mandelbrot dans la première édition de son livre « les Objets fractals : forme, hasard et dimension » paru en 1975 [7]. Il continue ses recherches sur la géométrie fractale avec les outils informatiques dont il a disposé chez IBM dans les années 1980[10].

Approche fractale

Définition des fractales

L’adjectif « fractal » a été introduit par Benoit Mandelbrot au cours des années 70[5],il provient du mot latin « fractus »,du verbe « frangere »qui signifie briser,présenter des irrégularités ,fragmenter à toutes les échelles ou encore fractionner à l’infini[1] .

Falconer K. ‘affirmait que nous ne devons pas essayer de définir strictement les fractales, mais nous devons considérer comme fractal, toute structure qui possède un certain nombre de caractéristiques minimales’ [8].

Une figure fractale ou fractale est une courbe ou surface de forme irrégulière ou morcelée qui se crée en suivant des règles déterministes ou stochastiques impliquant une homothétie interne[17] et dont l’irrégularité à toutes ses échelles d’observation ne peut pas être caractérisée par une dimension entière . Par contre un objet est dit non fractale s’il n’ya pas d’apparition de nouvelles formes chaque fois qu’on zoom une de ses parties .

Plus généralement, une fractale est définie comme « une figure dont la dimension de Hausdorff est plus grande que la dimension topologique »[8].

Les caractéristiques d’un objet fractal 

Généralement, un fractal est un objet composé de plusieurs sous-objets. La caractéristique globale de l’objet est similaire à la caractéristique locale de chacun des sous-objets [18], donc il doit combiner les propriétés suivantes :
◆ Sa forme est extrêmement irrégulière, soit extrêmement interrompue ou fragmentée, quelle que soit l’échelle d’observation [11], (contrairement aux courbes différentiables qui au bout de quelques agrandissements possèdent une allure d’une droite) [15].
◆ Il est exactement ou statistiquement autosimilaire, c’est l’union des copies de luimême à différentes échelles où le processus est isotrope ou uniforme en toutes directions [18]. On aura beau zoomer sur une partie de la fractale, on retrouvera toujours le même motif général. [9], c’est –à-dire que le tout est semblable à une de ses parties.
◆ Sa dimension fractale dépasse sa dimension topologique.et possède une valeur non entière (c’est un nombre réel dont la valeur dépend de la propriété de l’objet [18]).