Méthode des éléments finis appliquée aux calculs structures

Méthode des Elèments finis appliquée aux calculs structures

 Méthode de Ritz

 Principe des travaux virtuels
Une fonction arbitraire, choisie pour représenter la déformée, qui est continue sur le domaine et qui respecte les conditions limites cinématiques est dite « cinématiquement admissible ». Deux exemples sont donnés ci-dessous: Si on impose un champ de déplacement virtuel cinématiquement admissible à un corps élastique à l’équilibre sous l’action de forces extérieures, l’accroissement de l’énergie élastique W est égal au travail des forces extérieures dans ce déplacement.
Si on admet que les forces Fi dérivent d’un potentiel U, alors le résultat précédent peut s’exprimer comme une condition d’extémum:, d’où U est l’opposé de , travail des forces Fi calculé dans le déplacement virtuel ( en supposant les forces F i constantes ).W- est l’énergie potentielle totale (EPT). On montre que, pour un corps en équilibre stable , cet extrémum de l’énergie potentielle totale est un minimum absolu .Parmi tous les champs cinématiquement admissibles, celui qui rend minimale l’énergie potentielle totale correspond à la solution.

Méthode des Eléments Finis

Principe
La Méthode des Eléments Finis consiste à découper la structure en éléments de forme simple et à choisir une approximation du déplacement sur chaque subdivision. C’est une méthode de Ritz ’par morceaux’ qui s’adapte aux géométries les plus complexes.
Les subdivisions sont les ’éléments’ et les connexions entre éléments sont les ’noeuds’.
Il est utile que les inconnues soient des paramètres physiques. C’est pourquoi on choisit les composantes de déplacements des noeuds (déplacements nodaux). Par exemple: pour le noeud i.
Les N déplacements nodaux sont rangés dans un vecteur:
L’énergie potentielle totale (W- ) est ensuite calculée en fonction des déplacements nodaux.
Il existe 3 grandes familles d’éléments. Les éléments uni-dimensionnels, bi-dimensionnels, tri-dimensionnels. L’énergie élastique W est calculée en fonction des déplacements nodaux:
En 1D, grâce aux relations de la théorie des poutres. Un modèle uni-dimensionnel s’appuie donc sur les hypothèses restrictives de la rdm. En 2D, en utilisant, selon les cas, les théories des membranes, des plaques et des coques. Un modèle bi-dimensionnel s’appuie sur les hypothèses restrictives de ces différentes théories. En 3D, en exploitant les relations de l’élasticité sans aucune hypothèse restrictive. Le travail des efforts extérieurs s’exprime simplement en fonction des déplacements des noeuds auxquels sont appliqués ces efforts. La solution recherchée correspond à un minimum de l’énergie potentielle totale.

Bibliothèque d’éléments

Dans le tableau qui suit, sont présentés les types d’éléments les plus courants qui constituent la bibliothèque de base de tout programme d’éléments finis.
ROD: Il schématise un composant [IJ] d’une structure qui travaille uniquement en traction compression. Dans cet élément, il est supposé que seule la contrainte normale σx est différente de zéro et qu’elle est constante sur la section droite.
BEAM: C’est un élément unidimensionnel [IJ] qui reprend toutes les hypothèses des poutres longues. Il intègre les énergies d’effort normal, d’effort tranchant, de flexion et de torsion.
MEMBRANE: C’est un élément bidimensionnel dans lequel on suppose que les contraintes sont uniformes dans l’épaisseur et que la contrainte σz est nulle (z est l’axe perpendiculaire au plan de l’élément). Il est utilisé pour modéliser : -des structures minces travaillant en membrane c’est-à-dire sans rigidité de flexion -des structures plus épaisses quand on peut considérer que les composantes du tenseur des contraintes ne varient pas dans l’épaisseur.
C’est généralement un élément à 2 noeuds. Chaque noeud admet 3 inconnues ou degrés de liberté (u,v,w).C’est un élément à 2 noeuds qui comporte 6 inconnues (DDL) par noeud : les 3 translations (u,v,w) et les 3 rotations (Θx,Θy,Θz) des sections droites extrèmes. C’est généralement un élément triangulaire à 3 noeuds ou quadrangulaire à 4 noeuds qui comporte 2 inconnues par noeud : les 2 composantes du vecteur déplacement (u,v) dans le plan.