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ANALYSE COMPLEXE
Prérequis
J’utilise un peu de topologie sur C et les résultats de base sur les séries (voir le chapitre résumé, page 1). Les lecteurs sont supposés, comme le font les «vrais» étudiants, étudier la topologie générale et le calcul différentiel en parallèle. En cas de besoin, je signale l’existence de deux beaux livres accessibles sur ces sujets, ceux de Skandalis [Ska01] et de Rouvière [Rou03].
Sources, reférences et remerciements J’ai appris les fonctions holomorphes dans le livre de Cartan [Car61] qui n’a pas plus vieilli que son auteur et reste la référence « incontournable »… et que j’ai donc copié et plagié sans vergogne, probablement même là ou` je n’en étais pas consciente. Le paragraphe sur l’exponentielle est copié sur l’époustouflant prologue du livre de Rudin [Rud75], les démonstrations des résultats sur les produits infinis viennent du chapitre 15 de ce même livre. La démonstration « sans homotopie » de l’analyticité des fonctions holomorphes vient de l’article de Verley dans l’Encyclopædia Universalis [Ver19]. J’ai aussi copié quelques démonstrations dans le cours de Jean-Benoit Bost à l’école Polytechnique[Bos97], une ou deux autres dans le livre de Remmert [Rem91] (1), quelques exercices «faciles» dans les livres de Silverman [Sil72] et Lang [Lan93] et d’autres, en général plus difficiles, dans celui de Tauvel [Tau99]. Je me suis permis de copier quelques notices biographiques dans la même Encyclopædia Universalis. Que tous ces auteurs, nommés ou non, soient remerciés pour leur participation involontaire. L’esprit de ce cours, l’idée d’utiliser la démonstration de [Ver19] pour avoir au plus vite les grands théorèmes(Liouville…),beaucoup des exercices et même le styleL ATEX utilisé proviennent de multiples conseils de et discussions avec Claude Sabbah. J’y ai aussi inclus beaucoup d’exercices proposés par Iris Muller et j’ai bénéficié de remarques de Nicole Bopp, d’Henri Carayol et d’Olivier Dodane.
Qu’ils soient remerciés pour leur participation plus ou moins volontaire. Les étudiantes de magistère première année en 2005-2006 ont essuyé les platres (version 1,9) de ce nouveau cours. La version améliorée (version 1,99) leur doit beaucoup : chacune a corrigé une formule incorrecte, a protesté parce que je n’étais pas claire, a proposé une nouvelle démonstration (voir par exemple page 39), a dessiné des paysages (voir page 102). Pour fabriquer la présente version (version 2,0), j’ai simplement corrigé deux ou trois erreurs grossières (la plupart signalées par Olivier Dodane) et ajouté les exercices du sujet d’examen de janvier 2007. Que tous les étudiants soient remerciés pour leur participation captive (mais bienveillante, agréable et surtout indispensable). Ajouté en mai 2011. Les étudiants lyonnais de Bertrand Rémy et Julien Melleray en 2008–2009, les étudiants strasbourgeois de la licence de mathématiques en 2009–2010 (avec moi) et 2010–2011 (avec Christine Huyghe) ont encore subi ce polycopié et apporté des améliorations à ce texte. Je les remercie, ainsi que Bertrand, Julien et Christine, pour leur aide.
Et après? On trouvera dans la bibliographie des références permettant aux lecteurs de se cultiver et/ou d’approfondir et de prolonger ce qu’ils auront appris dans ces notes, je pense notamment à la fonction zêta et à ses utilisations [Kah96, SB03] et aux surfaces de Riemann [Car61, Rey90]. Ajouté (aussi) en mai 2011. Il devrait y avoir bientôt une suite, sur les fonctions spéciales, séries de Dirichlet, etc.
