Eléments de frontière absorbante

Problématique d’un milieu semi-infini pour l’ISS

Les problèmes standard de réponse sismique et d’interaction sol-structure ou sol-fluide-structure amènent à considérer des domaines infinis ou supposés tels. Par exemple, dans le cas de barrages soumis au séisme, on a souvent affaire à des retenues de grande taille qui nous permettent de faire l’hypothèse d’anéchoïcité : les ondes qui partent vers le fond de la retenue ne « reviennent » pas. Ceci a pour but de réduire la taille de la structure à mailler et de permettre de passer des calculs complexes avec les moyens informatiques actuels. On propose sur la [Figure 1.1-a] ci-dessous un schéma qui décrit le type de situations envisagées. Dans tout le document, on considère que la frontière du maillage éléments finis du sol se trouve dans un domaine au comportement élastique. La théorie des systèmes elliptiques assure simplement l’existence et l’unicité de la solution des problèmes acoustiques ou élastoplastiques dans les domaines bornés, sous l’hypothèse de conditions aux limites assurant la fermeture du problème. Il en va différemment pour les domaines infinis. On doit avoir recours à une condition particulière, dite de Sommerfeld, formulée dans les directions infinies du problème. Cette condition assure notamment, dans le cas de la diffraction d’une onde plane (élastique ou acoustique) par une structure, l’élimination des ondes diffractées non physiques venant de l’infini que les conditions classiques sur les bords du domaine à distance finie ne suffisent pas à assurer.

Etat de l’art des approches numériques

La méthode privilégiée pour traiter des domaines infinis est celle des éléments finis de frontière (ou équations intégrales). La solution fondamentale utilisée vérifie automatiquement la condition de Sommerfeld. Seulement, l’utilisation de cette méthode est conditionnée par la connaissance de cette solution fondamentale, ce qui est impossible dans le cas d’un sol à géométrie complexe, par exemple, ou lorsque le sol ou la structure sont non linéaires. Il faut donc alors avoir recours aux éléments finis. Dès lors, des conditions particulières à la frontière du maillage éléments finis sont nécessaires pour interdire la réflexion des ondes diffractées sortantes et reproduire ainsi artificiellement la condition de Sommerfeld. Plusieurs méthodes permettent d’identifier des conditions aux limites répondant à nos exigences. Certaines conduisent à une résolution exacte du problème : on les appelle « frontières consistantes ». Elles sont fondées sur une prise en compte précise de la propagation des ondes dans le domaine infini. Par exemple, si ce domaine peut être supposé élastique et avec une stratigraphie simple loin de la structure, on peut envisager un couplage éléments finis – équations intégrales. Un des problèmes de cette solution est qu’elle n’est pas locale en espace : il faut faire un bilan sur toute la frontière séparant le domaine fini du domaine infini, ce qui nous conduit obligatoirement à un problème de sous-structuration. Cette non-localité en espace est caractéristique des frontières consistantes. Pour aboutir à des termes de frontière locaux en espace, on peut utiliser la théorie des éléments infinis [bib1]. Ce sont des éléments de dimension infinie dont les fonctions de base reproduisent au mieux la propagation des ondes élastiques ou acoustiques à l’infini. Ces fonctions doivent être proches de la solution car les théorèmes mathématiques classiques n’assurent plus la convergence du résultat de calcul vers la solution avec de tels éléments. En fait, on peut trouver une analogie entre la recherche de fonctions de base satisfaisantes et celle d’une solution fondamentale pour les équations intégrales. Les contraintes géométriques sont assez voisines mais surtout, cette recherche présente un inconvénient de taille : elle dépend de la fréquence. Par conséquent, de telles frontières, locales ou non en espace, ne peuvent être utilisée que dans le domaine de Fourier, ce qui interdit une certaine catégorie de problèmes, avec des non-linéarités de comportement ou des grands déplacements par exemple. On en arrive donc à devoir trouver des frontières absorbantes performantes qui soient locales en espace et en temps pour traiter aux éléments finis des problèmes transitoires posés sur des domaines infinis. Nous allons présenter dans la suite la théorie des éléments paraxiaux qui réalisent l’absorption cherchée avec une efficacité inversement proportionnelle à leur simplicité d’implémentation ainsi que la description des contraintes d’implémentation dans Code_Aster. On présente les développements pour traiter des problèmes 3D. Ceux pour les cas 2D ont été réalisés et leur théorie se déduit simplement de la modélisation 3D.

Théorie des éléments paraxiaux

On présente dans cette partie le principe de l’approximation paraxiale dans le cas de l’élastodynamique linéaire. Deux approches théoriques permettent de cerner l’esprit et la mise en pratique des éléments paraxiaux élastiques : on doit la première à Cohen et Jennings [bib2] et la seconde à Modaressi [bib3]. L’application de la théorie des éléments paraxiaux au cas fluide sera faite dans la partie suivante. Dans toute la suite, comme présenté sur la [Figure 1.1-a], on suppose que la frontière du maillage du sol est située dans un domaine au comportement élastique. L’approche de Modaressi implantée dans Code_Aster permet à la fois de construire des frontières absorbantes et d’introduire la champ sismique incident.