Propriétés de base des transformations morphologiques

Cours caractérisation de la rétine pour l’identification biométrique des personnes, tutoriel & guide de travaux pratiques en pdf.

Les trames

Beaucoup d’opérations en traitement d’images prennent en considération non- seulement un pixel isolé, mais le « voisinage » du pixel. Le voisinage peut être représenté par un graphe ⊂ × qui est l’ensemble de tous les couples de voisins : (II.5) engendre une trame, c’est-à-dire un schéma d’organisation des pixels Chaque graphe  dans . Dans la Figure II.3, nous montrons les trames les plus fréquemment utilisées en morphologie mathématique : la trame carrée avec 4 voisins, la trame carrée avec 8 voisins et la trame hexagonale avec 6 voisins. Les trames carrées correspondent à la représentation physique d’une image (sur un écran par exemple, la trame est carrée et non hexagonale) ; elles sont les plus utilisées en traitement d’images. Néanmoins, la trame hexagonale a des avantages considérables au niveau de la topologie et de l’isotopie.
Figure II.3 – Les trames fréquemment utilisées [30].
L’ensemble de voisins d’un point est dit voisinage  point n’est pas son propre voisin :

La notion de connexité

La notion de connexité a été formalisée pour l’analyse d’image par G. Matheron et J. Serra [70, 71]. Elle permet notamment d’introduire la notion d’ouverture connexe ponctuelle ( ௫):
Figure II.5 – Notion du chemin et de la fonction distance [30].
Définir une distance et une connexité sur la trame revient donc à définir des relations de voisinage entre les pixels de cette trame. Ainsi, on distingue plusieurs types de connexités : hexagonale (6 voisins sur la trame), carrée (4 ou 8 voisins sur la trame). La trame hexagonale est certainement la plus utilisée par les morphologues car elle possède de bonnes propriétés de symétrie (voir Figure II.4): même connexité définie pour la forme et pour le fond (ce qui n’est pas le cas des trames carrées).

Morphologies binaire et numérique

Dans tout ce qui suit désignera une transformation alternativement binaire ou l’on est dans le cas binaire ou dans le cas numérique (au cas où une ambiguïté subsisterait, nous préciserons de quel type de transformation il s’agit).

Propriétés de base des transformations morphologiques

Les transformations morphologiques sont dotées de propriétés importantes dont nous rappelons, dès à présent, les définitions. Ces propriétés de base des opérateurs morphologiques sont celles relatives aux opérations sur les ensembles.
Extensivité : sera dite extensive si et seulement si son résultat est plus grand que l’ensemble ou la fonction de départ :
Dans le cas contraire ( ⊇ ( ) ou bien ≥ ( ) ), sera dite anti-extensive.
Un opérateur anti-extensif agit de manière privilégiée sur les grains des images binaires (les structures claires des images numériques). Au contraire, un opérateur extensif traite les pores des images binaires (les structures sombres des images numériques).
Homotopie : Une dernière propriété dont il est utile de parler est la conservation (ou la non conservation) de l’homotopie. D’une manière simple, on peut dire que deux ensembles (ou fonctions) sont homotopes si on peut passer de l’un(e) à l’autre par une transformation continue. Une transformation qui préserve l’homotopie ne crée ni détruit de particule.

Les éléments structurants

En morphologie mathématique, et comme définie dans [30], la démarche habituelle est d’extraire les structures essentielles d’une image en faisant des comparaisons ensemblistes avec les translations d’un petit ensemble donné ayant un centre défini. Ce petit ensemble est appelé élément structurant (ES). La forme et la taille de cet élément structurant sont choisies en fonction des éléments d’intérêt dans l’image. Pour des images binaires, l’élément structurant est soit un sous-ensemble de (ES plan), soit une petite image à teintes de gris (ES non-plan). Dans ce mémoire, seuls les éléments structurants plats sont utilisés.
La forme des éléments structurants peut être choisie librement mais quelques propriétés mathématiques des transformations morphologiques dépendent du choix de l’élément structurant (par exemple si l’élément structurant contient le centre ou pas). Dans la Figure II.7 les éléments structurants élémentaires pour les différentes trames sont montrés.