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Arithmétique d’intervalle
• Norme IEEE1788 en 2012 ?
• Chaque variable appartient à un intervalle et est notée [v] – [v]=[v*,v*] = {x/ v* ≤ x ≤ v*}
• Les opérations sont définies sur des intervalles – [a]+[b] = [a*+b*,a*+b*] – [a]-[b] = [a*-b*,a*-b*] – [a]*[b] = [min(a*b*, a*b*, a*b*, a*b*), max(a*b*, a*b*, a*b*, a*b*)] – [a]/[b] = [a*,a*] * [1/b*,1/b*] si 0∉[b]
• Généralisation aux fonctions continues : exp([v])=[exp(v*),exp(v*)] – Dépend de la monotonie de la fonction
• La vraie valeur toujours à l’intérieur d’un intervalle : fiable – Utilisation des arrondis vers –∞ (v*)et +∞ (v*)
Arithmétiques alternatives
• Les limites – Le temps de calcul – La taille des intervalles des variables qui croit très vite – Problème quand 0 est dans l’intervalle – Surestimation des intervalles
• Ex : P(x) = x-x2
• P([0,1])= [0,1]- [0,1]2 = [0,1]-[0,1] = [-1,1]
• Ou avec P(x) = x(1-x)
• P([0,1])= [0,1]*( 1-[0,1])= [0,1]*[0,1] = [0,1]
• Or le bon intervalle est [0,1/4] – [a]2 = [min(a*2, a*2), max(a*2, a*2)] si 0∉ [a] = [0, max(a*2, a*2)] autrement plus précis que [a]*[a] car les bornes sont corrélées – Il faut éventuellement envisager de réduire les intervalles
Arithmétique stochastique
• Basée sur les travaux de Laporte et Vigne (années 70)
• On perturbe aléatoirement les données et les calculs – En particulier en jouant sur les règles d’arrondi
• On obtient le nombre de chiffres significatifs stables obtenus en comparant les résultats
– Nombre de chiffres obtenu avec très peu de tirages en pratique ( ≈ 3)
– Permet de statuer sur :
• une variable sans chiffres significatifs
• 2 variables stochastiquement équivalentes (tous les chiffres stables sont identiques)
• Nombre de chiffres significatifs du résultat du code donné – CADNA : http://www.lip6.fr/cadna – Existe pour MPI et GPU – Beaucoup plus long, plus de mémoire, mais fiable
• La valeur d’une variable est de la forme a/b – a et b entiers – Premiers entre eux (forme irréductible)
• Les calculs sont effectués sur des fractions rationnelles –
• Les fonctions mathématiques sont codées en rationnel
• Les limites – Ne représente pas tous les rationnels – L’ensemble Q n’est pas l’ensemble R – Calculs très lents
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