Une introduction à la méthode des éléments finis étendus

Cours introduction à la méthode des éléments finis étendus, tutoriel & guide de travaux pratiques en pdf.

Méthode des EF étendus Cas X-FEM (I)

On arrive de nouveau à séparer les deux parties
La signification des degrés de libertés est partiellement perdue
On doit modifier certaines fonctions de formes et en rajouter d’autres
Il faut deux fonctions Heaviside pour modifier les fonctions de base
On doit encore séparer les nœuds du maillage
Ceux qui portent des degrés de liberté modifiés vont dans l’ensemble C
Les fonctions classiques sont présentes partout
Au niveau matriciel, les deux parties sont liées
A-t-on réellement deux parties séparées ?
Assembler la matrice sans tenir compte des conditions aux limites et déterminer le nombre valeurs propres nulles de cette matrice.
Si il n’y a qu’une seule entité, on aura une seule valeur propre nulle (la condition de Dirichlet manquante pour avoir un système non singulier)
Deux VP nulles -> la barre est bien coupée en deux car on a deux conditions de Dirichlet à imposer afin d’avoir un système non singulier
La signification des degrés de libertés est perdue
On garde les fonctions de base inchangées et on en rajoute d’autres par enrichissement
On construit une sorte de base EF hiérarchique
Une seule fonction d’enrichissement pour la coupure (plus simple !)

Méthode des EF étendus

Les cas (I) et (II) sont équivalents (ils produisent exactement les même résultats)
On a en effet une combinaison linéaire entre les fonctions de formes  le cas (II) rentre dans un cadre théorique – utilisation d’une fonction d’enrichissement et synthèse « constructive »

Définitions Méthode des éléments finis étendus

Se base sur les fonctions de forme FEM classiques Rajoute le produit des ces FF par une ou des
fonctions d’enrichissement Ek x
Ces fonctions d’enrichissement représentent un comportement particulier de la solution que les FF classiques ne savent pas représenter (ex. discontinuité)

Méthode des EF étendus En 2D / 3D

Cas de l’élasticité linéaire
Représentation de fissures Notion de Level-sets
Propagation de fissures
Méthode des EF étendus Exemple 2D
Définition des degrés de liberté enrichis (ensemble C)
Ce sont les noeuds des éléments coupés par (iso-0 de la level-set)

Méthode des EF étendus Exemple 2D

Après assemblage et calcul on retrouve deux solides indépendants.
La géométrie de peut être quelconque.
Aucune modification du maillage
Méthode des EF étendus Point délicat Intégration
On doit sous-découper les éléments le long de l’interface
On doit augmenter l’ordre d’intégration en pointe de fissure

Méthode des EF étendus Fissures

On voudrait modéliser une fissure
Une fissure est une coupure incomplète dans le domaine
On a donc une modification de l’ensemble C Comment prendre cela en compte ?
Il y a des phénomènes qui se passent en pointe de fissure (les déplacements sont en r , r étant la distance à la pointe de fissue)
On utilise une autre level-set lst x
Elle représent la distance normale au front de fissure
Les deux level-set forment une base orthonormée en pointe de fissure
L’ensemble C concerne les noeuds dont le support est entièrement coupé par la fissure
L’ensemble T concerne les noeuds dont le support contient ou touche la pointe de fissure
Déplacements avec enrichissement en pointe de fissure
En choisissant bien l’enrichissement, amélioration du taux de convergence

Méthode des EF étendus Propagation de fissures

Pour faire se propager une fissure, il faut:
Faire l’assemblage du système linéaire Résoudre le problème
Calculer les FICs
Mettre à jour les level-sets lsn et lst
La propagation de la fissure se fait selon des lois bien définies
Fatigue
Fracture fragile etc…

 Introduction
 Rappels
 Problème simple (saut sur la variable primale)
 Extensions en 2D / 3D
 Autre problème (saut sur la dérivée)
 Autres applications et recherche actuelle
 Références et littérature