Décomposition d’un signal en séries de Fourier

Cours décomposition d’un signal en séries de Fourier, tutoriel & guide de travaux pratiques en pdf.

La transformation de Fourier

Signification physique de la transformation de Fourier

Pour un signal de mesure quelconque, on s’intéresse souvent à son évolution en fonction du temps
comme l’indique la figure n°66.
Cette représentation temporelle donne de trop nombreuses informations de forme inintelligible. La conversion du signal dans le domaine des fréquences peut rendre l’interprétation des informations qu’il contient beaucoup plus aisée.
A cela, il faut ajouter que de nombreux phénomènes se situent « naturellement » dans le domaine des fréquences et non pas dans le domaine du temps. Pour interpréter un signal auditif, le cerveau effectue une analyse dans le domaine des fréquences. Autre exemple, la détection d’un défaut de roulement peut être réalisée par une analyse de son spectre de fréquences. Dernier exemple, l’étude des résonances d’une structure mécanique passe par une analyse en fréquences.
Ces deux représentations (temps et fréquence) sont reliées entre elles par les transformations de Fourier, outils d’une importance capitale dans les techniques d’analyse du signal et dans l’explication de nombreux phénomènes physiques chimiques et biologiques.
Considérons un signal électrique y(t) par exemple (tension, intensité du courant, etc…) dépendant du temps, faire l’analyse de Fourier dans le domaine des fréquences consiste à effectuer sur ce signal y(t) une opération mathématique du « genre » (on utilise la notation complexe de la transformée de Fourier)

Décomposition d’un signal en séries de Fourier (cas d’un signal périodique)

Dans le rappel qui suit nous abandonnons volontairement la variable temps t au profit d’une variable à connotation plus mathématique. De même, la période s’appelle P et ne concerne plus uniquement une période temporelle que nous avons souvent appelée T. En effet, nous verrons que la transformée de Fourier concerne aussi bien des « situations temporelles » que des « situations spatiales » où l’on définira alors une « période spatiale » qui dans le cas d’une onde peut correspondre à sa longueur d’onde que nous avons appelé λ∗
Tout signal (ou fonction) périodique f(x), de la variable x de période P peut être représenté(e) par une infinité de fonctions sinusoïdales de périodes P, P/2, P/3, etc..