Cours approche par gestion dynamique de portefeuille

Cours approche par gestion dynamique de portefeuille, tutoriel & guide de travaux pratiques en pdf.

Depuis une trentaine d’année, le paysage financier a été profondément modifié par l’apparition de marchés et produits nouveaux. Ce bouleversement fait suite à une volonté accrue de déréglementation dans les années 1970, rendant volatiles les taux d’intérêt et instables les taux de change. Des marchés organisés ont alors vu le jour et permis à des intervenants comme les entreprises industrielles et commerciales, les compagnies d’assurance et les banques d’intervenir massivement sur un marché unique et liquide. A la suite du premier de ces marchés à Chicago en 1973, la France a emboîté le pas, en créant le MATIF en 1985 (marché à terme international de France) puis le MONEP en 1987 (marché des options négociables). Le développement spectaculaire de ces activités a été rendu possible grâce aux progrès technologiques, mais aussi grâce aux outils théoriques qui ont permis de valoriser les nouveaux produits financiers. Aujourd’hui, les ingénieurs des départements de recherche et développement des institutions financières manipulent au quotidien une large palette d’outils des mathématiques appliquées : nous en proposons un rapide survol, en partant des probabilités (mouvement brownien, calcul stochastique, méthodes de simulation de type Monte-Carlo…) pour aller vers la statistique (estimations de paramètres…),tout en passant par l’analyse numérique (équations aux dérivées partielles linéaires ou non linéaires et leur résolution numérique, problèmes inverses…).

APPROCHE PAR GESTION DYNAMIQUE DE PORTEFEUILLE

L’option d’achat (ou Call) est l’un des produits financiers les plus utilisés : à travers cet exemple simple, nous allons dégager les messages fondamentaux de la finance de marché. Tout d’abord, ce contrat confère à son acheteur le droit (mais pas l’obligation) d’acheter un actif risqué à un cours K fixé à la signature du contrat (K est appelé prix d’exercice), à la date future T appelé échéance. L’actif risqué peut être une action, une obligation, un taux de change ou encore une matière première… Notons St son cours à l’instant t. L’acheteur du contrat aura un gain en T égal à (ST −K)+ (où x+ désigne la partie positive de x) : en échange, il versera aujourd’hui une prime C0 au vendeur de l’option. Pour déterminer le montant de cette prime, Black et Scholes d’une part, Merton d’autre part, jettent en 1973 les bases modernes de l’évaluation d’instruments financiers, en s’appuyant sur une gestion dynamique de portefeuille. Précisément, le vendeur de l’option va rechercher une stratégie qui, partant d’une richesse initiale C0, lui permettra d’atteindre la richesse terminale souhaitée (ST(ω)−K)+ à la date T, de manière à honorer son engagement envers l’acheteur, et cela dans tous les scénarios ω d’évolution du marché. Nous allons voir qu’il existe une solution unique à ce problème de cible aléatoire,explicite et de surcroît facile à calculer : ce miracle a été le détonateur de l’explosion des marchés d’options. Notons Vt la valeur de ce portefeuille dynamique, investi d’une part en actifs risqués (en nombre δt, soit pour un montant δtSt) et d’autre part en placement sans risque (rémunération au taux d’intérêt rt supposé déterministe pour simplifier, soit pour un montant Vt −δtSt). Lorsque l’on traduit que les variations de la valeur du portefeuille sont uniquement dues à celles des actifs (autrement dit, sont exclus l’apport extérieur d’argent ou une consommation), on obtient une première équation, dite d’autofinancement, décrivant la variation infinitésimale de la valeur du portefeuille :
dV t =rt(Vt −δtSt)dt+δtdS t , (1) avec V0 =C0. Ainsi, pour valoriser l’option d’achat, il s’agit de trouver le coût initial V0 et la stratégie δt, qui permettent d’obtenir VT(ω) = (ST(ω)−K)+ dans tous les scénarios de marché.