(Semestre 2) Cours et exercices probabilités

Cours et exercices probabilités, tutoriel économie & rapport en pdf.

Deux résultats de décomposition

Les deux résultats de ce paragraphe utilisent « à l’envers » la définition de probabilité conditionnelle, c’est-à-dire donnent un moyen de calcul de probabilités connaissant des probabilités conditionnelles. Ils sont très utiles dans la pratique.
Exemple : Une urne contient deux boules blanches et une boule noire. Une personne tire une boule et la garde, une deuxième personne tire une boule. Avec quelle probabilité les deux boules tirées sont-elles blanches ? On peut répondre à cette question en utilisant la définition de probabilité conditionnelle. En effet, notons A l’évènement « la première personne a tiré une boule blanche » et B l’évènement « la deuxième personne a tiré une boule blanche ». D’après la définition, P (A et B) = P (B | A) P(A). Mais P(A) est connue, c’est 2/3. P (B | A) est aussi connue : c’est 1/2 car, la première personne ayant tiré une boule blanche, la deuxième personne tire une boule au hasard dans une urne qui contient une boule blanche et une boule noire. Ainsi, P (A et B) vaut (2/3).(1/2) = 1/3.
Proposition : Soit (Ω, P) un espace de probabilité, et soient A1, A2,…, An des évènements.
On a :
P (An et An-1 et… et A1) =
P (An | An-1 et… et A1) P (An-1 | An-2 et… et A1) … P (A2 | A1) P(A1).
Cet énoncé est constamment utilisé dans le contexte des « chaînes de Markov », qui interviennent naturellement dans les problèmes concrets où A1, A2,…, An représente une succession (temporelle) d’évènements, la probabilité de réalisation du n-ième évènement An étant conditionnée par « le passé » (probabilité sachant que A1 et … et An- ont eu lieu).
Proposition : Soit (Ω, P) un espace de probabilité, et soient C1, C2, …, Cn n évènements deux à deux disjoints et dont la réunion est l’ensemble de tous les résultats possibles Ω. En termes ensemblistes, {C1, C2, …, Cn} est donc une partition de Ω ; en termes probabilistes, on l’appelle un système complet d’évènements. Soit A un évènement. On a bien sûr :
A = (A ∩ C1) (A ∩ C2) … (A ∩ Cn) et les ensembles (A ∩ C1), (A ∩ C2), …, (A∩ Cn) sont deux à deux disjoints. Ainsi :
P (A) = P (A ∩ C1) + P (A ∩ C2) + … + P (A∩ Cn)
=P (A | C1) P (C1) + P (A | C2) P (C2) + … + P (A | Cn) P (Cn)
Exercice : En mars 1994 (enquête sur l’emploi INSEE 1994), la population active en France comprend 44,7% de femmes. Le taux de chômage chez les hommes est 10,8% ; il est chez les femmes 14,3%. On tire au sort une personne parmi les actifs.
a) Avec quelle probabilité est-elle au chômage ?
b) Sachant qu’elle est au chômage, avec quelle probabilité est-ce une femme ?

Evènements indépendants

Il est naturel de poser que, du point de vue de leur probabilité de réalisation, deux évènements A et B sont indépendants si le fait de savoir que B est réalisé n’apporte pas d’information sur les chances de réalisation de A, c’est-à-dire si la probabilité de A sachant que B est égale à P(A), et donc si P(A ∩ B) = P(A).P(B). Posons pour définition plus générale la suivante :
Définition : Soit (∈ Ω, P) un espace de probabilité, et soit (Ai)i I une famille d’évènements. On dit que ces évènements sont indépendants dans leur ensemble si, quelle que soit la partie finie J de I, P (⋂ Aj,∈- ) =∏ P(Aj) . ,∈-
Exercice :
a) Montrer que si A et B sont indépendants, A etB , A et B, A et B le sont aussi.
b) Deux évènements A et B incompatibles sont-ils indépendants ?

Exercices

Exercice 1: Avec quelle probabilité une famille de 3 enfants comporte-t-elle au moins un garçon ?
Exercice 2 : Une expérience est conduite pour étudier la mémoire des rats. Un rat est mis devant trois couloirs. Au bout de l’un d’eux se trouve de la nourriture qu’il aime, au bout des deux autres, il reçoit une décharge électrique. Cette expérience élémentaire est répétée jusqu’à ce que le rat trouve le bon couloir. Sous chacune des hypothèses suivantes :
(H1) le rat n’a aucun souvenir des expériences antérieures,
(H2) le rat se souvient de l’expérience immédiatement précédente,
(H3) le rat se souvient des deux expériences précédentes, avec quelle probabilité la première tentative réussie est-elle la k-ième ?
Exercice 3 : Pour décider d’un traitement thérapeutique, on utilise un test qui est positif 99 fois sur 100 si une personne est effectivement malade. Mais si une personne n’est pas malade, le test est positif une fois sur 100. On sait par ailleurs que 5 personnes sur 100 ont cette maladie.

I- Le modèle probabiliste
1- Evènements
2- Loi de probabilité, espace de probabilité
3- Le cas où les évènements élémentaires sont équiprobables
4- Exercices
II- Probabilités conditionnelles
1- Définition
2- Deux résultats de décomposition
3- Evènements indépendants
4- Exercices
III- Variables aléatoires : généralités
1- Définitions
2- Variables aléatoires discontinue
3- Variables aléatoires continue
4- Couples de variables aléatoires
5- Variables aléatoires indépendantes
6- Exercices
IV- Caractéristiques d’une variable aléatoire
1- Espérance mathématique
2- Variance
3- Covariance
4- Exercices
V- Variables aléatoires usuelles
1- Loi de Bernoulli (p)
2- Loi binomiale (n, p)
3- Loi hypergéométrique
4- Loi uniforme
5- Loi de Poisson (λ)
6- Loi exponentielle
7- Loi normale (µ, σ)
8- Exercices