Cours analyse mathématique

Cours analyse mathématique, tutoriel & résumé algèbre linéaire en pdf.

1 Rappels
1.1 Notations
1.2 Dérivabilité, continuité, cas des fonctions d’une variable ou de plusieurs variables réelles
1.2.1 Définition de la continuité
1.2.2 Définition de la dérivabilité
1.2.3 Définition d’une fonction continûment dérivable
1.2.4 Dérivation des fonctions composées
1.3 Intégration (Lebesgue) à une ou plusieurs variables
1.3.1 Définitions et propriété générales
1.3.2 Les critères de la convergence majorée (Lebesgue) et monotone (Levi)
1.3.3 Critères pratiques d’intégrabilité (n = 1)
1.3.4 Techniques d’intégration à une variable
1.3.5 Intégration à plusieurs variables et permutation de l’ordre
1.3.6 Intégration par changement de variables
1.3.7 Le théorème des intégrales paramétriques
1.3.8 Les intégrales fléchées
2 Analyse vectorielle
2.1 Notions fondamentales (considérées vues)
2.1.1 Notations
2.2 Fonctions vectorielles, champs vectoriels
2.2.1 Notion de dérivation
2.2.2 Exemples courants de fonctions vectorielles
2.3 Opérateurs vectoriels
2.3.1 Le gradient
2.3.2 La divergence
2.3.3 Le rotationnel
2.4 Relations importantes entre les opérateurs vectoriels
2.4.1 Théorèmes de primitivation : Réciproque 1
2.4.2 Théorèmes de primitivation : Réciproque 2
2.4.3 Théorème de primitivation 3 : dans le cas de la divergence
2.5 Courbes, surfaces et intégrales associées
2.5.1 Définitions et rappels
2.5.2 Longueur d’une courbe et aire d’une surface
2.5.3 Intégrale sur un chemin (une courbe)
2.5.4 Intégrale curviligne, le long d’un chemin
2.5.5 Intégrale sur une surface
2.5.6 Intégrale surperficielle, le long d’une surface
2.5.7 Notion d’orientation et d’invariance des intégrales
2.6 Formules
2.6.1 Formule de Green dans le plan
2.6.2 Formule de Gauss ou Théorème de la divergence
2.6.3 Formule de Stokes
2.7 L’indépendance des intégrales
2.7.1 Homotopie de chemins
2.8 Champ exact
3 Fonctions holomorphes
3.1 Introduction et notations
3.1.1 Un cas particulier d’intégrales curvilignes
3.1.2 Premières propriétés
3.2 Définition d’une fonction holomorphe
3.2.1 Propriétés directes mais fondamentales
3.2.2 Remarques au sujet de l’équation de Cauchy-Riemann
3.3 Propriétés relatives aux intégrales des fonctions holomorphes
3.4 Propriétés de type général relatives aux fonctions holomorphes
3.5 Quelques exemples d’intégrales dans ce cadre
3.6 Primitives dans le cadre des fonctions holomorphes
3.7 Fonctions holomorphes élémentaires
3.7.1 Le logarithme complexe
3.7.2 Définition de la puissance généralisée
3.8 Formule intégrale de Cauchy
3.8.1 Preuve
3.8.2 Conséquences de la formule d’intégration de Cauchy
3.9 Séries de puissances, séries de Taylor
3.9.1 Définition
3.9.2 Rayon de convergence, disque de convergence d’une série de puissances
3.9.3 Développement de fonctions holomorphes en séries de puissances
3.9.4 Zéros des fonctions holomorphes
3.10 Théorème des résidus
3.10.1 Séries de Laurent
3.10.2 Remarques
3.10.3 Démonstration du théorème de Laurent
3.10.4 Pôles et singularité essentielles
3.10.5 Théorème des résidus
3.11 Résultats complémentaires
3.11.1 « Encoches»
3.11.2 Lemme de Jordan
3.11.3 Application dans les intégrales fléchées
3.11.4 Transformation de Laplace
3.11.5 Application dans un cas particulier
3.11.6 Transformation conforme
4 Introduction à l’analyse de Fourier
4.1 La transformée de Fourier dans L)
4.2 Théorème sur les Transformées de Fourier dans L1(Rn
4.2.1 Propriétés générales
4.2.2 Propriété de transfert
4.3 Théorème de Fourier
4.4 Espace vectoriel complexe, normé, de Hilbert
4.4.1 Propriétés d’un espace vectoriel complexe de Hilbert
4.5 Développement en série trigonométrique de Fourier
4.5.1 Exemples
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