Zéro

Tout petits, c’est d’un pas mal assuré que nous faisons notre entrée au pays des nombres. On nous y apprend que le 1 occupe la première position dans « l’alphabet des nombres », et qu’il est suivi de 2, 3, 4, 5… Les nombres ne servent à rien d’autre qu’à compter des choses réelles telles que des pommes, des oranges, des bananes, des poires. Ce n’est que bien plus tard que l’on apprend à compter le nombre de pommes dans une boîte lorsque celle-ci est vide.
Les Grecs de l’Antiquité eux-mêmes, qui ont pourtant permis l’avancée prodigieuse des sciences et des mathématiques, et qui se sont illustrés par leurs prouesses dans le domaine de la technologie, ne disposaient d’aucune méthode efficace pour compter le nombre de pommes dans une boîte vide. Ils n’ont pas réussi à donner un nom au « rien ». Les Romains avaient quant à eux une façon très particulière de combiner I, V, X, L, C, D et M. Mais qu’en était-il du 0 ? Ils ne comptaient pas le « rien ».
Comment le zéro est-il parvenu à se faire accepter ? L’utilisation d’un symbole pour désigner « le néant » remonterait à des milliers d’années. La civili-sation Maya qui occupait le Mexique actuel employait le zéro sous différentes formes. Un peu plus tard, l’astronome Claudius Ptolémée, influencé par les Babyloniens, uti-lisait un symbole proche de notre 0 pour marquer une position dans son système de numération. En tant que marqueur de position, le zéro pouvait servir à diffé-rencier des nombres tels que 75 et 705 par exemple, sans avoir besoin de se référer au contexte comme le faisaient les Babyloniens. C’est un peu comme la « virgule » dans le langage écrit : tous deux nous permettent de « lire » la bonne signification. Toutefois, de même que l’utilisation de la virgule est accompagnée d’un ensemble de lois, des règles sont nécessaires pour bien utiliser le zéro.
Le mathématicien indien Brahmagupta au viie siècle de notre ère, pour qui le zéro était un « nombre » comme les autres, avait fixé des règles pour l’utiliser. Selon l’une d’elles, « la somme d’un nombre positif et de zéro est positive » et « la somme de zéro plus zéro est égale à zéro ». En considérant zéro comme un nombre et non pas seulement comme un marqueur de position, il était en avance sur son temps. Le sys-tème de numération indo-arabe dans lequel le zéro était utilisé comme un nombre fut diffusé en occident par Léonard de Pise, plus connu sous le nom de Fibonacci, chronologie 700 av. J.-C. 628 av. J.-C.
Les Babyloniens utilisent le zéro en tant que marqueur de position dans leur système de numération.
Brahmagupta utilise le zéro et fixe des règles pour l’utiliser avec les autres chiffres dans son ouvrage intitulé Liber Abaci (Le Livre des abaques) qu’il publia en 1202. Élevé en Afrique du Nord et formé à l’école arithmétique indo-arabe, il reconnaissait tout l’intérêt qu’il y avait à utiliser le signe supplémentaire 0 en combinaison avec les symboles indiens 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9.
L’introduction du zéro dans le système de numération posa un problème que Brahmagupta n’examina que rapidement : comment fallait-il traiter cet « intrus » ? Il esquissa une solution, mais les expédients qu’il proposait étaient vagues. Comment faire pour réellement intégrer le zéro dans le système arithmétique exis-tant ? Certains ajustements étaient simples. Tant qu’il s’agissait d’additionner et de multiplier, 0 s’intégrait parfaitement, mais les opérations de soustraction et de divi-sion s’entendaient mal avec « l’étranger ». Des simplifications étaient nécessaires pour permettre au 0 de s’accorder avec l’arithmétique pratiquée à l’époque.
Comment fonctionne le zéro ? Les additions et les multiplications avec zéro sont simples et ne donnent pas lieu à contestation. Si 0 vient s’ajouter à 10, on obtient 100, mais « ajouter » doit être pris ici dans un sens purement numérique. additionner 0 à un nombre le laisse inchangé alors que multiplier 0 par n’importe quel nombre donne toujours 0. Par exemple, on a 7 + 0 = 7 et 7 × 0 = 0. La sous-traction est une opération simple qui peut cependant donner des nombres négatifs, 7 – 0 = 7, et 0 – 7 = – 7, alors que la division avec 0 est source de difficultés.
Imaginons qu’il nous faille mesurer une longueur donnée avec une règle. Supposons que cette règle est de sept unités de long. Nous voulons savoir combien de règles nous pouvons mettre bout à bout pour effectuer notre mesure. Si notre longueur est de 28 unités effectives, la réponse est 28 divisé par 7 ou, avec les symboles mathé-matiques, 28 ÷ 7 = 4. On préfère noter cette division sous la forme 287 =4
On peut alors effectuer un « produit en croix » et l’on obtient la multiplication 28 = 7 × 4. Que faire maintenant de 0 divisé par 7 ? Pour faciliter notre travail, appelons cette réponse a de sorte que 07 = a
Avec un produit en croix, cela équivaut à 0 = 7 × a. Si c’est le cas, la seule valeur possible pour a est 0, car si la multiplication de deux nombres donne 0, alors l’un des deux doit être égal à 0.

Les systèmes de nombres

Un système de nombres est un outil qui permet de traiter le concept de « quantité ». Diverses cultures à des moments différents de l’histoire ont adopté des méthodes variées, qui vont de la méthode de base « un, deux, trois, beaucoup » à la notation décimale hautement sophistiquée que nous utilisons aujourd’hui.
Les Sumériens et les Babyloniens, qui occupaient la Syrie, la Jordanie et l’Irak actuels il y a 4 000 ans environ, utilisaient un système de numérotation de position pour leur usage quotidien. Nous l’appelons système de position parce que l’on reconnaît le « nombre » grâce à la position d’un symbole. Ils utilisaient également 60 comme unité de base : c’est ce que nous appelons aujourd’hui un système sexagésimal ou sys-tème « en base 60 ». Il reste aujourd’hui des vestiges de la base 60. Il y a 60 secondes dans une minute, 60 minutes dans une heure. En ce qui concerne les angles, leur mesure repose aujourd’hui encore largement sur le système sexagésimal et s’exprime en degrés notés °. Ainsi, l’angle nul mesure 360° contre 400 grades avec le système décimal qui n’a jamais réussi à s’imposer. Un angle droit vaut donc 100 grades.
Nos très lointains ancêtres utilisaient principalement les nombres à des fins pra-tiques, et pourtant certains signes prouvent que les mathématiques en tant que telles excitaient la curiosité de ces cultures primitives, et qu’elles ont pris sur le temps réservé à l’exécution des tâches quotidiennes pour les explorer. Au nombre de ces explorations, figurent ce que l’on pourrait appeler « l’algèbre » et les propriétés des figures géométriques.
Le système égyptien du xiiie siècle av. J.-C. utilisait la base 10 associée à un système de signes hiéroglyphiques. Les Égyptiens développèrent notamment un système destiné à traiter les fractions, mais la notation décimale de position actuelle nous est venue des Babyloniens, et ce sont les Indiens qui l’ont plus tard améliorée. Elle présente l’avantage de pouvoir exprimer à la fois de très petits nombres et de très gros. Les chiffres indo-arabes 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9 utilisés seuls permettent de calculer assez facilement. Pour le comprendre, examinons le système romain. Il était adapté à leurs besoins mais seuls des spécialistes du système étaient capables de s’en servir pour réaliser des calculs.
Le système romain Les symboles de base utilisés par les Romains étaient les « dix » (I, X, C et M), et leur moitié (V, L et D). Ces symboles sont combinés pour en former d’autres. On suppose que les symboles I, II, III et IIII tirent leur origine de l’apparence de nos doigts, V de la forme de notre main, et que, si l’on combine ce dernier symbole avec un V à l’envers de manière à former un X, on retrouve deux mains, ou dix doigts. C viendrait de centum et M de mille, mots latins signifiant res-pectivement cent et mille. Les Romains utilisaient aussi S pour « une moitié » ainsi qu’un système de fractions en base 12.
Le système romain utilisait une méthode qui reposait sur la position « avant et après » des symboles de base pour construire les combinaisons nécessaires, mais elle n’aurait, semble-t-il, pas été uniformément adoptée. Les Romains de l’Antiquité préféraient écrire IIII, alors que IV n’a été introduit que bien plus tard. La combinaison IX semble avoir été utilisée, mais pour un Romain, SIX aurait signifié 8 12 ! Voici les nombres de base du sys-tème romain, avec quelques ajouts effectués à l’époque médiévale : Il n’est pas facile de manier les chiffres romains. Il est par exemple impossible de comprendre MMMCDXLIIII si l’on n’introduit pas mentalement des parenthèses, de sorte que (MMM) (CD) (XL) (IIII) se lit alors 3 000 + 400 + 40 + 4 = 3 444. Mais essayez d’ajouter MMMCDXLIIII à CCCXCIIII. Un spécialiste romain de ce système aurait usé d’astuces pour s’en sortir, mais pour nous, il est diffi-cile d’obtenir la bonne réponse sans d’abord effectuer le calcul dans le système décimal pour traduire ensuite le résultat en notation romaine :
Les Romains n’avaient pas de symbole spécifique pour le zéro. Si vous aviez demandé à un citoyen végétarien de Rome de recenser le nombre de bouteilles de vin consom-mées dans sa journée, il aurait peut-être écrit III, mais si vous lui aviez demandé combien de poulets il avait mangé, il n’aurait pas pu écrire 0. Il reste des vestiges du système romain dans la pagination de certains livres (pas dans celui-ci cependant) et sur les frontons de certaines bâtisses. Certaines compositions n’ont jamais été utilisées par les Romains, comme MCM pour 1900 par exemple, mais elles ont été introduites à l’époque moderne pour satisfaire des préférences purement formelles. Les Romains auraient écrit MDCCCC. Le quatorzième Roi Louis de France, maintenant universellement connu sous le nom de Louis XIV, préférait en réalité se faire appeler Louis XIIII et avait décidé que le 4 des horloges devait s’écrire sous la forme IIII.
Pour les très grands nombres, la notation décimale est parfois très longue, c’est pourquoi l’on revient dans ce cas à la « notation scientifique ». Par exemple, 1 356 936 892 peut s’écrire 1,356 936 892 × 109 qui apparaît souvent sous la forme « 1,356 936 892 × 10E9 » sur les calculatrices ou les ordinateurs. Dans cet exemple, la puissance 9 correspond au nombre de chiffres contenus dans le nombre moins 1 et la lettre E signifie « exposant ». Il nous arrive parfois de vouloir utiliser de plus grands nombres encore, par exemple pour parler du nombre d’atomes d’hydro-gène que contient l’univers connu. On l’estime à environ 1,7 × 1077. De la même manière, 1,7 × 10 –77, avec une puissance négative, est un très petit nombre qui est lui aussi facile à utiliser avec cette notation scientifique. On ne pourrait même pas imaginer ces nombres si l’on ne disposait que des symboles romains.
Les zéros et les uns Alors que la base 10 est parfaitement établie dans notre vie quotidienne, quelques applications nécessitent d’autres bases. Le système binaire qui utilise la base 2 se dissimule derrière notre puissant ordinateur moderne. La beauté de ce système réside dans le fait que l’on peut exprimer un nombre quel qu’il soit à l’aide des seuls symboles 0 et 1. En contrepartie de cette économie, les nombres écrits en base deux peuvent être très longs.
Comment écrire 394 en base 2 ? Cette fois, nous traitons de puissances de 2 et après quelques calculs, nous pouvons donner l’expression complète comme suit, 394=1×256+1×128+0×64+0×32+0×16+1×8+0×4+1×2+0×1 de sorte que, si on relève les zéros et les uns, 394 s’écrit 110001010 en base 2.
Comme les notations des nombres en base 2 peuvent être très longues, d’autres bases sont fréquemment utilisées en infor-matique. Il s’agit du système octal (base 8) et du système hexa-décimal (base 16). Dans le système octal, seuls les symboles 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, sont nécessaires, alors que le système hexa-décimal utilise 16 symboles. Dans ce système en base 16, on utilise généralement 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. Étant donné que 10 correspond à la lettre A, le nombre 394 s’écrit 18A en base hexadécimale. C’est l’ABC du système, ABC qui, dans le système décimal, équivaut à 2748, pensez-y !

Les fractions

Une fraction est un « nombre fragmenté », au sens propre du terme.
Pour fragmenter un nombre entier, la meilleure façon de procéder est d’utiliser des fractions. Prenons un exemple traditionnel, celui bien connu du gâteau que nous couperons ici en trois parts. L’heureux convive qui reçoit deux des trois parts du gâteau en reçoit une fraction équivalente à 2/3. Son acolyte malheu-reux n’en reçoit que 1/3. En réunissant les deux portions du gâteau, on le reconstitue en entier, ou, sous forme de fractions, 1/3 + 2/3 = 1, où 1 représente le gâteau entier. Voici un autre exemple. Imaginez que vous avez fait les soldes et que vous avez repéré une chemise affichée aux quatre cinquièmes de son prix initial. Dans ce cas, la fraction s’écrit 4/5. On pourrait également dire que la chemise est vendue un cinquième moins cher que son prix d’origine. On l’écrirait 1/5 et l’on voit alors que 1/5 + 4/5 = 1, 1 représentant le prix d’origine.
Une fraction prend toujours la forme d’un nombre entier placé « au-dessus » d’un autre nombre entier. Le nombre du bas s’appelle le « dénominateur » parce qu’il nous indique le nombre de parties égales qui constituent le tout. Le nombre du haut s’appelle le « numérateur » parce qu’il nous dit de combien de fractions unitaires est constituée cette partie du tout. Par conséquent, l’écriture d’une fraction se présente toujours comme suit numérateur dénominateur
Dans le cas du gâteau, la part que vous voulez peut-être manger correspond aux 2/3 du tout, et dans ce cas le dénominateur est égal à 3 et le numérateur à 2. La fraction 2/3 est constituée de 2 fractions unitaires égales à 1/3 chacune.
On peut aussi avoir des fractions telles que 14/5 (appelées fractions impropres) où le numérateur est plus grand que le dénominateur. Si l’on divise 14 par 5, on obtient 2 et il reste 4, ce qui peut s’écrire sous la forme du nombre « mixte » 24/5. Il est constitué du nombre entier 2 et de la fraction « propre » 4/5.