Bases orthonormales et analyse de Fourier

Nous allons ici rappeler quelques notions et résultats fondamentaux sur les bases orthonormales, et l’analyse de Fourier, qu’on peut trouver dans [4, 24, 29]. Rappelons que dans ce chapitre nous considérons, un espace de Hilbert H , muni du produit scalaire h., .i, et de la norme k.kH . Définition 1.3.1: ([24, p. 54]) Soient x, y deux éléments de H, et N un sous ensemble de H. (i) On dit que x et y sont orthogonaux si hx, yi = 0, ou orthonormaux si de plus kxkH = kykH = 1. (ii) On appelle orthogonale de N et on note N ⊥ l’ensemble défini par N ⊥ = {x ∈ H : hx, yi = 0 pour tout y ∈ N} . (iii) Un sous ensemble K de H est dit orthonormale si chaque deux éléments de K sont orthonormaux. (iv) Un ensemble K orthonormale dans H est dit complet si K⊥ = {0} . Théorème 1.3.2: ([24, Th. 5.8]) Soient {xn} une suite orthonormale dans H et {αn} une suite de scalaires. Alors la série Pαnxn est convergente si et seulement si P|αn| 2 < ∞, 1.3 Bases orthonormales et analyse de Fourier 1. Préliminaires et rappels d’analyse fonctionnelle 19 et dans ce cas on a Xαnxn H = X|αn| 2  1 2 . Théorème 1.3.3: ([24, Th. 5.9]) Soient K un ensemble orthonormale de H, et x ∈ H. Posons Kx = {y ∈ K : hx, yi 6= 0}. Alors (i) Pour tout x ∈ H, Kx est dénombrable. (ii) La série X y ∈ Kx hx, yiy est convergente. Définition 1.3.4: ([24, Def. 5.5]) Un ensemble K dans H est dit une base orthonormale ou base hilbertienne de H si pour tout x ∈ H : x = X y ∈ Kx hx, yiy (∗) Les coefficients hx, yi dans la série (*) sont appelés les coefficients de Fourier de x. Théorème 1.3.5: ([24, Th. 5.10]) Soit K un ensemble orthonormale de H. Les affirmations suivantes sont équivalentes (i) K est complet au sens de la définition (1.3.1(iv)). (ii) K est une base orthonormale de H. 1. Préliminaires et rappels d’analyse fonctionnelle 20 (iii) Pour tout x ∈ H, kxk 2 H = X y ∈ Kx |hx, yi|2 . Remarque 1.3.6: L’égalité dans (iii) du théorème (1.3.5) est appelé identité de Parseval. Théorème 1.3.7: ([24, Th. 5.11]) Tout espace de Hilbert admet une base orthonormale, et toute base orthonormale d’un espace de Hilbert séparable est dénombrable. La proposition suivante fournit un outil essentiel (pour le calcul), dans le cadre fonctionnel choisi pour notre problème, afin d’appliquer la réduction de Liapunov-Schmidt (pour plus de détails voir [4, 17, 6]). Proposition 1.3.8: ([4, p.11]) La suite    1 2π e 2πi   k1x b1 − a1 + k2y b2 − a2      (k1,k2)∈Z2 définit une base orthonormale dans L 2 (]a1, b1[×]a2, b2[).

FORMULATION OPERATIONNELLE DU ´ PROBLEME

Stabilité linéaire : paramètres critiques

Il est claire que l’équation (1.1) admet une solution stationnaire : l’état trivial u ≡ 0 pour toutes les valeurs du paramètre réel α > 0. Si cette position d’équilibre est instable, en la perturbant, on déclenchera une dynamique qui fera évoluer notre problème vers d’autres états stationnaires. C’est pour cela qu’on d’éterminera d’abord, la valeur du paramètre α > 0 pour laquelle cet état devient instable. Proposition 2.1.1: L’état d’équilibre trivial u ≡ 0 de l’équation (1.1), est linéairement instable pour α > 2. Lorsque α dépasse le seuil critique αc = 2 des modes instables de vecteurs d’onde (sc, rc) = (1, 1) apparaissent. Preuve 2. Formulation opérationnelle du problème 22 Chaque perturbation (spatialement périodique) de l’état d’équilibre trivial, s’exprime par son développement en séries de Fourier. On la décompose ainsi en modes propres ayant pour vecteur d’onde (s, r) et pour taux de croissance la partie réelle d’un certain nombre complexe λ. On peut représenter ces modes propres sous la forme (en notation complexe) U(t, x, y) = e λtϕ(x, y), o`u ϕ(x, y) = e i(sx+ry) , (2.1) avec (s, r) ∈ Z 2 et λ ∈ C. L’équation (1.1) linéarisée en u ≡ 0, s’écrit pour U comme suit Ut (t, x, y) = −∆ 2U (t, x, y) − α∆U (t, x, y). (2.2) Ainsi, d’après (2.1) on obtient λϕ = −∆ 2ϕ − α∆ϕ =  α(s 2 + r 2 ) − (s 2 + r 2 ) 2  ϕ. Par conséquent la solution de l’équation (2.2) s’exprime `a travers (s, r) solution de l’équation λ = −(s 2 + r 2 ) 2 + α(s 2 + r 2 ). (2.3) Donc αc, valeur critique du paramètre α est déterminée par la valeur minimale de (s, r) pour laquelle l’équation (2.3) admet une solution (s, r) non nulle avec 2. Formulation opérationnelle du problème 23 <(λ) > 0. Ce qui est le cas lorsque α > s2 + r 2 . Ainsi, αc = min{(s 2 + r 2 ), (s, r) ∈ Z 2 }. Sachant, qu’on est concerné que par les solutions périodiques `a moyennes nulles, et non constantes, on doit avoir s 2 + r 2 6= 0. De plus, l’espace fonctionnel dans lequel on travaille (qui sera précisé plus tard) étant constitué de fonctions ayant la mˆeme période suivant les deux directions x et y, il est nécessaire d’avoir s = r. Par conséquent, αc = min  2s 2 , s ∈ Z et s 6= 0 = 2. Pour s = 1 le minimum est réalisé, par conséquent αc = 2 et (sc, rc) = (1, 1) sont des valeurs critiques, tel que c’est annoncé dans la proposition. 2. Formulation opérationnelle du problème 

Reformulation du problème stationnaire

Nous nous proposons d’étudier les configurations indépendantes du temps et spatialement périodiques. Il serait donc plus commode de faire apparaitre le vecteur d’onde (s, r) comme paramètre dans l’équation du problème, et non pas dans la définition des espaces o`u les solutions sont recherchées. C’est dans ce cadre que nous allons reformuler le problème stationnaire de l’équation (1.1) 2.2.1 Notations et reformulation En supposant que U est T périodique par rapport `a x et R périodique par rapport `a y, il existe alors deux réels s et r, tels que T = 2π s et R = 2π r , autrement dit on a U(x + 2π s , y) = U(x, y + 2π r ) = U(x, y) pour tout (x, y) ∈ R 2 . En composant par les transformations de variable X = sx et Y = ry, U devient 2π-périodique par rapport `a X et Y , et bien défini par sa restriction sur l’ensemble (X, Y ) ∈ Ω = ]0, 2π[ × ]0, 2π[. Ainsi, on peut se ramener `a une équation aux dérivées partielles dans un domaine spatial indépendant des paramètres. Les dérivées partielles de U par rapport `a x et y s’expriment en fonction de celles par rapport aux nouvelles variables X et Y respectivement