Standardité des filtrations engendrées par deux versions de l’automate additif

Dans toute la suite, et sauf mention contraire, (A,+) est un groupe abélien fini, qui nous servira d’alphabet pour construire nos automates cellulaires. On présente dans ce chapitre deux versions de l’automate algébrique construit à partir de l’addition dans le groupe A:unepremièreversion déterministe notée , puis une perturbation probabiliste de qui dépend d’un paramètre > 0etquel’onnote . On va  notamment définir et étudier les filtrations engendrées par ces deux automates. 

L’automate additif déterministe

Généralités

On considère l’automate : AZ locale : AZ de voisinage N = 0,1 défini par sa règle f : A2 A. (a, b) a +b. Onidentifie ici A0,1 à A2. Ondéfinit aussi l’action de cet automate sur les mots finis indexés par des intervalles f inis de Z : si I = n,n+1,…,n+ est un tel intervalle, on définit I+ := n,n + 1, . . . , n + ,n + +1 et on note également l’application de AI+ dans AI qui à w = w(n) w(n+ +1)associele mot v(n) v(n+ ),oùv(i) := w(i)+w(i+1). 36 FIGURE 2.1– L’action de sur un mot fini

Nous présentons ici la nature de l’automate , il s’agit d’une famille d’automates cel lulaires bien particulière : Définition 45. On dit qu’un automate cellulaire F sur l’alphabet A, de voisinage 0,1 et de fonction locale f, est permutatif à gauche si b A, a même, on dit que l’automate est permutatif à droite si a A, b A. f (a, b) est une bijection de A. De f (a, b) est une bijection de Uneconséquence immédiate des propriétés de l’addition dans le groupe (A,+) est la suivante :

Propriété 1. est permutatif à gauche et à droite. Démonstration. Soit b que l’application a c Afixé. Par calcul immédiat dans le groupe (A,+), on vérifie a +b de A dans lui-même est bijective, de bijection réciproque c b.Ils’ensuit que estpermutatif à gauche. Puis en fixant a aulieu de b onobtient de mêmelapermutativité à droite. 37 FIGURE 2.2– La permutativité à gauche et à droite de Cette dernière propriété bien que simple à première vue aura un impact important pour la compréhension du lien entre et f ,

car nous allons nous intéresser autant aux images qu’aux antécédents de . Images réciproques Pour y AZ,i Zeta A,ondéfinit 1 a,i (y) := x AZ/ (x) = yet x(i) = a . Demême,pour I intervalle fini de Z, w AI, a Aeti I ,ondéfinit 1 a,i (w) := v AI+/ (v) = wet v(i) = a . On notera 1 a (y) := 1 a,0(y) et 1 a (w) := 1 a,0(w) car la position i = 0 est un site que nous prendrons souvent comme référence à partir de maintenant pour simplifier. Onpeutseposerla question du nombred’éléments présents dans 1 démontrer à présent qu’il n’y a qu’un seul antécédent : Propriété 2. Pour tout intervalle fini I de Z, w AI, a A et i I , on a 1 a,i (w) = 1.

Pour tout y AZ,i Zeta A,ona 1 a,i (y) = 1. 38 a,i (y), nous allons Démonstration. Commençons par le cas des mots finis. Fixons w AI, a A et i I . Pour tout x AI , la permutativité à gauche et à droite de illustrée sur la figure 2.2 donne l’équivalence x(i) = a (x) = w x(i) = a j j I , j < i = x(j) = w(j) x(j+1), I , j > i = x(j) = w(j 1) x(j). Par récurrence ascendante et descendante à partir de i, cela détermine un unique x AI .

Le cas des configurations bi-infinies indexées par Z se prouve de la même façon en remplaçant I et I par Z. Remarque 46. Dans la suite, on identifiera 1 a,i comme étant la fonction associant à une suite y son unique antécédent x satisfaisant la contrainte x(i) = a. Remarque 47. Grâce à la propriété 2, on déduit que pour tout y AZ, effet pour un i fixé arbitrairement dans Z, 1(y) est la réunion disjointe des même pour tout sous-intervalle fini I de Z et tout w AI, on a aussi 1(y) = A.En 1 a,i (y), a A.De 1(w) = A.

Remarque48. Pour toute configuration y AZ et tout i Z,les Aélémentsde 1(y) sont tous différents en position i. Remarque 49. Ayant fixé une configuration y AZ, un sous-intervalle fini I de Z et un entier i Z, les Amots 1 a,i (y)[I ] (a A) sont exactement les Amots appartenant à 1(y[I])