Etude de la formation spontanée de structures auto-organsiées

INTRODUCTION

Ce travail s’inscrit dans le cadre des mathématiques appliquées `a l’étude de la formation spontanée de structures auto-organsiées, naissantes `a partir de la déstabilisation d’états d’équilibre critiques des dynamiques diffusives dans des milieux étendus dans l’espace. L’apparition ou la non-apparition de ces structures est gouvernée par un phénomène de seuil, qui dépend en général du coefficient de diffusivité du milieu en question (voir [40, 41]). Ce phénomène est lié au mouvement, résultant de la combinaison de l’effet des forces gravitationnelles et de la diffusion concernant les constituants physiques du milieu. Ces mouvements sont modélisés par l’évolution de champs scalaires ou vectoriels régis par des équations aux dérivées partielles non linéaires, qui possèdent dans certains cas, plusieurs solutions indépendantes du temps. Souvent, des structures stationnaires complexes naissent de la déstabilisation de structures plus simples (voir [28, 31, 41]). De fa¸con générale, le nombre de solutions stationnaires de ces équations aux dérivées partielles dépend d’un certain nombre de paramètres, dits de contrôle, représentant des données liées `a des conditions réalisables expérimentalement. La variation de Introduction 8 l’un des paramètres de contrôle est en général suivie d’un comportement qualitativement invariant du système, ce qui traduit une certaine stabilité, mais il existe des valeurs particulières des paramètres (appelées valeurs critiques) pour lesquelles le système adopte soudainement un comportement qualitativement différent du comportement antérieur. Un tel phénomène est appelé bifurcation et se traduit souvent par un basculement du système d’une configuration vers une autre. La valeur critique du paramètre (ou des paramètres), qu’on appelle aussi valeur du seuil, correspond `a un renversement du rapport de force entre les facteurs stabilisants et les facteurs déstabilisants dans le système. Une instabilité peut en général ˆetre considérée comme le résultat d’une compétition entre des mécanismes antagonistes, stabilisants ou déstabilisants, et se traduit souvent par une perte de symétrie des solutions. Ainsi dans une analyse mathématique de ces phénomènes, pour comprendre la relation entre instabilités et bifurcations, il est très important de tenir compte des symétries du système afin d’étudier ses transitions vers ses différentes configurations. Des modèles mathématiques de ces phénomènes, en terme d’équations aux dérivées partielles non linéaires, sont utilisés pour représenter les aspects essentiels de leurs apparitions et leurs transitions observées. L’une des équations aux dérivées partielles, modèle de formation de structure très abondamment étudié, est l’équation de Kuramoto-Sivashinsky (équation KS). L’équation KS a été introduite par Kuramoto dans [11, 10] pour l’étude de la turbulence de phase dans les réactions chimiques de Belousov-Zhabotinsky. Une extension de cette équation `a deux ou plusieurs dimensions spatiales a en- Introduction 9 suite été donnée par Sivashinsky dans [15, 16] pour étudier la propagation des fronts de flamme dans les problèmes de la combustion. L’équation KS joue un rôle important en tant que prototype d’équations aux dérivées partielles, dans ce contexte de formation de structures (ou configurations) auto-organisées (voir [23, 17] et les références qui s’y trouvent), et constitue aussi un bon modèle dans la théorie de la bifurcation et du chaos (voir [9, 12, 13]). Parmi toutes ces structures un intérˆet particulier est porté pour celles qui possèdent des comportements qualitatifs forts, telle que la périodicité (spatiale ou temporelle). Les outils développés pour analyser ce type de problème s’appuient souvent sur une réduction de l’équation aux dérivées partielles de départ `a une équation différentielle ordinaire, qui est une représentation plus ou moins fidèle de la dynamique du système. Dans certains travaux comme [37, 46], une telle réduction est réalisée par la méthode de l’équation d’amplitude (basée sur une approximation du développement formel de la solution du système E.D.P). Une autre approche, celle de la variété centrale (réduction du problème E.D.P `a une équation E.D.O en dimension finie), est adoptée dans [47, 48, 25]. 0.1 Position du problème On considère l’équation de Kuramoto-Sivashinsky de la forme suivante ∂u ∂t = −∆ 2u − α∆u + N (u, α) (KS) Introduction 10 avec une valeur initiale, et des conditions au bord appropriées. Dans [22] les états stationnaires du problème (KS) sont étudiés dans R n pour n ≥ 1 et N (u, α) = α 2 |∇u| 2 avec α = 1. Dans le cas de la dimension n = 1, 2 les auteurs ont montré que les seules solutions stationnaires localement intégrables sont les solutions triviales u = constante. Ici, on s’intéresse aux solutions stationnaires périodiques dans R 2 non triviales, pour l’équation non linéaire (KS), avec une source `a caractère non local ∂u ∂t (t, x, y) = −∆ 2u (t, x, y) − α∆u (t, x, y) + N (u (t, x, y), α) (1.1) pour (t, x, y) ∈ R + × R 2 , avec une valeur initiale u(0, x, y) = u0(x, y), et des conditions au bord périodiques u(t, x, y) = u(t, x + 2π, y) = u(t, x, y + 2π), (1.2) o`u la source non locale est définie par N (u (t, x, y), α) = α 2  |∇u (t, x, y)| 2 − 1 4π 2 Z 2π 0 Z 2π 0 |∇u (t, ξ, η)| 2 dξdη (1.3) avec α > 0, un paramètre réel. Introduction 11 Cette équation est traitée dans [13], pour les solutions `a moyenne nulle, par le biais des méthodes de perturbation et le développement asymptotique. Dans notre travail, on utilise la méthode de réduction de LiapunovSchmidt, développée dans [20], et appliquée aussi dans [14] pour l’étude de stabilité. La méthode consiste `a décomposer le problème stationnaire associé `a (1.1) en deux équations, `a résoudre séparément, et `a réduire `a un système d’équations algébriques, appelé équation réduite. A l’aide de développements de Taylor de ces équations, on calcule toutes les solutions stationnaires de (1.1), qui sont proches de la solution triviale nulle. Une attention particulière est accordée aux symétries du problème, telles que les invariances par translation suivant les directions de x et y, et les réflexions. Ces symétries nous aident `a déterminer les états stationnaires périodiques, qui bifurquent de l’état trivial (u ≡ 0) lorsqu’il devient instable. Elles simplifient la structure de l’équation réduite, et diminuent de fa¸con significative l’effort de calcul nécessaire pour résoudre le problème stationnaire associé `a (1.1).

PRELIMINAIRES ET RAPPELS  D’ANALYSE FONCTIONNELLE

Rappels sur la théorie des opérateurs

Nous allons rappeler des notions et des résultats fondamentaux dans la théorie des opérateurs et de l’analyse fonctionnelle, qui représentent un outil indispensable, ou du moins utile dans notre étude. On considère dans tout ce paragraphe, A un opérateur linéaire de domaine D(A) dense dans un espace de Hilbert H, muni du produit scalaire h., .i et de la norme k.kH . 1. Préliminaires et rappels d’analyse fonctionnelle 14 1.1.1 Notations et définitions On désigne par G (A) , R (A), Ker (A) respectivement le graphe de A , l’image de A et le noyau de A, définis par : G (A) = {(u, Au) : u ∈ D (A)} ⊂ H × H R (A) = {Au : u ∈ D (A)} ⊂ H Ker (A) = {u ∈ D (A) : Au = 0} ⊂ H On notera dans toute la suite du texte, l’application identité de H vers H par I. Définition 1.1.1: On dit que l’opérateur A défini sur H est borné s’il existe une constante C > 0 telle que pour tout u ∈ H on a : kAukH ≤ C kukH Définition 1.1.2: On dit que l’opérateur A est fermé si l’ensemble G(A) est un sous espace de H × H, fermé relativement `a la norme k.kH×H =