Implémentation numérique des modèles microscopiques et macroscopiques 

Les modèles macroscopiques obtenus par la méthode d’homogénéisation sont numériquement implémentés dans ce chapitre. La difficulté de l’implémentation réside dans le couplage des paramètres microscopiques. La résolution numérique a été faite en utilisant la méthode des éléments finis (methode de Galerkin). La géométrie de la période est complexe donnée par la figure 38, contenant les domaines fluide Ω f et solideΩs . Figure 38 – Géométrie périodique à simple porosité 2D. L’implémentation numérique est composée de deux étapes : i) calcul des paramètres effectifs à partir des problèmes microscopiques ; ii) résolution du problème macroscopique aux limites. Sur les domaines microscopiques fluide et solide, nous étudions respectivement les problèmes de Stokes, thermique suivants : Nous rappelons aussi que par linéarité des problèmes fluide et solide, il existe une perméabilité k effective, conductivité thermique effective k′ et un tenseur d’impédance solide 0 σ s tels que : 

Modèle microscopique fluide 

La génération du maillage est effectuée à l’aide du logiciel GMSH qui est un logiciel de maillage par éléments finis développé par Christophe Geuzaine et JeanFrançois Remacle [57]. La description de la géométrie dans la partie fluide est donnée par la figure 39. Figure 39 – Maillage de la partie fluide.  

 Modèle microscopique fluide en déplacement

 Dans cette section, nous établissons le code utilisé pour résoudre le problème microscopique fluide en déplacement. Pour des raisons de commodité numérique, nous adoptons préalablement les adimentionnalisation suivantes : 1 0 p p P = ′ , 1 l ∇ = ∇′ , 1 l ∆ = ∆′ , 0 0 u u U = ′ , ω ω ω0 = ′ (4.6) où l est la longueur caractéristique microscopique et P0 ,U0 , ω0 sont respectivement les valeurs caractéristique de la pression, du déplacement 0 u et de la fréquenceω . Les variables adimentionnelles sont notées par prime. Le gradient de pression peut être écrit : (4.10) Notons que ω′ est exactement le nombre de Reynolds définie dans (3.12) 2 0 2 tl l R ρ ω η = (4.11) où ρ0 est la masse volumique du fluide, η 2 la viscosité dynamique et l la longueur caractéristique microscopique. La formulation variationnelle du problème est donnée par la relation (4.12). Soit Th , une triangdation de Ω . L’indice h caractérise la taille du maillage et est destiné à tendre vers 0. Soient Xh et Mh des sous espaces de dimension finie approximant respectivement X et M . Nous considerons ensuite le sous espace de Xh , E v X v q q M = ∈ ∇ ⋅ = ∀ ∈ { h h h h h h ( ) , 0, } . La discrétisation par éléments finis du problème (4.12) conduit au problème mixte approché suivant : Trouver [ ] 3 h h u X ∈ et h h p M∈ tels que :obtenu en remplaçant respectivement u , v , p et q par h u , h v , h p et h q Forme matricielle du problème microscopique fluide en déplacement Nous notons ( )i 1 i N ϕ ≤ ≤ les éléments de la base de Xh et ( )i 1 i M ψ ≤ ≤ ceux de la base de Mh . Nous obtenons ainsi les écritures suivantes ,    1 2 ≤ ≤ k Il est à noter que nous effectuons le calcul des intégrales précédentes sur chacun des éléments via un changement de variables pour permettre de faire tous les calculs sur un élément de référence K (Figure 40). Nous nous donnons donc une transformation : K T K K → qui envoie l’élément de référence K sur l’élément K . Figure 40 – Passage d’un élément K à l’élément de référence K en 2d [21]. Ainsi nous effectuons toutes les intégrales seulement sur l’élément référentiel ce qui permet entre autres de pouvoir utiliser les quadratures de Gauss pour intégrer numériquement chacun des termes de formulation. Le choix des fonctions d’interpolation dépend du choix du type d’éléments. Un choix populaire est l’élément de Taylor-Hood aussi connu sous le nom de P P 2 1 − (Figure 41). Cet élément vérifie la condition de Brezzi, aussi connue sous le nom de condition inf sup − qui assure l’existence et l’unicité de la solution en déplacement et en pression du problème de Stokes (A.3).  Figure 41 – Elément triangulaire P P 2 1 − [21]. Avec cet élément P P 2 1 − , nous avons donc 6 u c n = nœuds de calcul en déplacement et 3 u c n = nœuds de calcul en pression dans le cas bidimensionnel. Comme son nom l’indique, avec l’élément P P 2 1 − nous utilisons des approximations quadratiques en déplacement et linéaires en pression. Par exemple, à deux dimensions, nous prendrions les 6 fonctions quadratiques suivantes en déplacement : De façon similaire, nous pourrions nous donner dix fonctions d’interpolation en déplacement et quatre en pression pour l’élément P P 2 1 − , dans le cas tridimensionnel.