GEOMETRIE DU PROBLEME ET MODELE MATHEMATIQUE 

 Introduction 

Dans ce présent chapitre, nous allons rappeler les différentes équations de conservation en milieu poreux . On présente dans un premier temps, les équations de continuité, de Navier-Stokes et de l’énergie pour un fluide newtonien. Nous présenterons en suite les modèles d’écoulements en milieu poreux, enfin on va expliquer le modèle physique et mathématique choisi. 

 Configuration étudiée et description 

Cette étude a pour objectif la convection naturelle dans une enceinte cylindrique concentrique. A l’instant initial, l’enceinte se trouve à la température . La mise en équation du système est réalisée à l’aide des conditions aux limites suivantes : un flux de chaleur de densité constante à une température est brusquement imposé sur la paroi cylindrique intérieure de rayon , la paroi cylindrique extérieure de rayon est maintenue à une température constante et les parois diamétrales sont isolées. La représentation de l’enceinte dans le système cartésien est schématisée par la Figure.II.1 ci-dessous. Mr Yoro Sow Laboratoire de mécanique des fluides et applications /U.C.AD/FST/Dakar 2016-2017 Page 27 Fig.II.1: Représentation schématique de l’enceinte délimitée par deux parois cylindriques concentriques 

 Hypothèses simplificatrices 

Pour une formulation simple du modèle mathématique, nous considérons les approximations les plus couramment utilisées dans ce types de problème, entre les approximations de Boussinesq. Nous supposons alors que :  Le fluide considéré est supposé newtonien et incompressible ;  L’écoulement engendré est supposé laminaire, bidimensionnel et l’étude se fait dans le plan normal à l’axe des cylindres horizontaux ;  Dans l’équation de chaleur, on néglige l’effet de la pression, la fonction de dissipation et le transfert de chaleur par rayonnement ;  Les propriétés physique du fluide sont constantes hormis la masse volumique qui obéit à l’approximation de Boussinesq dans le terme de la poussée d’Archimède : Mr Yoro Sow Laboratoire de mécanique des fluides et applications /U.C.AD/FST/Dakar 2016-2017 Page 28 [ ] (II.1) Avec la température de référence. représentent le coefficient d’expansion thermique dans l’équation (II.1) donnée par Ben Ahmed [01]: ( ) 

Les équations de transfert 

Compte tenu de toutes les hypothèses considérées, le système d’équation aux dérivées partielles décrivant ce problème est composé de l’équation de conservation de la masse (équation de continuité), l’équation de la quantité de mouvement et l’équation de transfert de chaleur dans un milieu poreux. Les équations modélisantes à travers un milieu poreux s’écrivent alors sous les formes suivantes :

Equation de continuité

Elle exprime la conservation de la masse pour un volume de contrôle matériel. 

Equation de la quantité de mouvement

Le principe de conservation de la quantité de mouvement permet d’établir les relations entre les caractéristiques du fluide lors de son mouvement et les causes qui le produisent. Il indique que le taux de variation de quantité de mouvement contenu dans le volume de contrôle est égale à la somme de toutes les forces extérieures qui lui sont appliquées. Il s’écrit alors sous la forme : Posons ( f ) 

 Equation de conservation d’énergie 

Soit un milieu isotrope dans lequel les effets radiatifs, la dissipation visqueuse et l’effet de variation de pression sont négligeable. On considère que chaque élément de volume est en équilibre thermique local, : on parle de modèle à une température. L’équation de conservation de l’énergie est obtenue à partir du premier principe de la thermodynamique. Ce principe met en relation les différentes formes d’énergie, soit : ⃗ gr d ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .T = α (II.4) : c’est le rapport des chaleurs spécifiques du milieu poreux et du fluide. L’équation (II.4) devient alors : ⃗ gr d ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .T = α (II.5) 

. Formalisme vorticité-fonction de courant

 On introduit le formalisme vorticité fonction de courant en coordonnées polaires pour éliminer le terme de pression dans l’équation du mouvement. Les vitesses et la vorticité sont données en appliquant le formalisme vorticité fonction de courant par les relations suivantes :  ⃗ rot ⃗ (II.6)  u (II.7)  v (II.8) Avec u et v les composantes du vecteur vitesse ⃗ suivant respectivement r et . II.5.1. Equation de continuité Pour l’équation de continuité en coordonnées bipolaires on a : div ⃗ = 0 (II.9) Ceci implique qu’il existe une fonction ᴪ tel que : Mr Yoro Sow Laboratoire de mécanique des fluides et applications /U.C.AD/FST/Dakar 2016-2017 Page 30 ⃗ rot ⃗ Posons ⃗⃗ rotv⃗ (II.10) Puisque l’écoulement est bidimensionnel, ⃗⃗ ⃗⃗⃗ alors nous aurons. ⃗⃗ = r u v r e ⃗⃗⃗ avec = (II.11) En remplaçant et par leurs expressions en coordonnées cartésiennes l’équation (II.11) devienne : ( r r r r ) (II.12) II.5.2. Equation de la quantité de mouvement En appliquant le rotationnel au niveau de l’équation de la quantité de mouvement écrite au-dessus (II.3), nous aurons : t (u r v r ) ( r r r r ) k √k | ⃗ | g r (II.13) II.5.3. Equation de la chaleur Cette équation en coordonnées polaires s’écrit comme suite : u (II.14) 

 Conditions initiales et aux limites 

La solution du problème dimensionnel dépend des valeurs des paramètres de contrôle et des conditions initiales et aux limites nécessaires pour la résolution des équations de ce système. 

 Conditions initiales 

Pour t on a le système suivant : { r r r r r (II.15) Mr Yoro Sow Laboratoire de mécanique des fluides et applications /U.C.AD/FST/Dakar 2016-2017 Page 31 Avec étant la température de référence. II.6.2.Conditions aux limites Le problème reste incomplet sans l’introduction des conditions aux limites alors on a les conditions suivantes : Pour t > 0 on prend en compte :  Les conditions dynamiques : Sur toutes les parois qui sont solides et immobiles, nous avons des conditions de non-glissement donc les vitesses y sont nulles.  Les conditions thermiques : Les plans diamétraux étant isolés nous écrivons donc : q (II.16) Sur la paroi cylindrique intérieure r (II.17) Avec étant le flux thermique (Loi de Fourier) Sur la paroi cylindrique extérieure (II.18) Les conditions aux limites sur la vorticité et sur la fonction de courant sont déduites à partir des conditions sur le champ des vitesses.  Conditions sur la fonction de courant : Sur toutes les parois de notre enceinte, la fonction de courant est constante et ses dérivées par rapport à la normale à la paroi considérée sont nulles. onst nte Alors (II.19) Où est la dérivée par rapport à la normale à la paroi  Conditions sur la vorticité Sur les parois cylindriques r = et r nous avons : (II.20) Ce qui donne ( ) Ainsi (II.21) Sur les plans diamétraux et = car v Quand nous regardons nos trois équations avec leurs conditions aux limites associées, nous nous rendons compte qu’elles contiennent plusieurs paramètres physiques et géométriques donc-il est souhaitable de les réduire. La technique la plus utilisée est celle de l’adimensionnalisations. 

Adimensionnalisation des équations de transfert 

La théorie de l’adimensionnalisation repose sur le théorème de VachyBruckingham dit aussi théorème II. Elle consiste à grouper les paramètres physiques et géométriques sous forme de nombres sans dimensions dont leurs connaissances permettent de caractériser les transferts. Pour cela il faut introduire des grandeurs de références En adimensionnalisant les équations, non seulement elles vont se simplifier mais aussi nous allons résoudre toute une classe de problèmes similaires.